算法入门刷题规划

从基础题型，到完整程序，再到入门竞赛。

236 道题 · 4 个平台 · 3 条路线

开始使用 · 完整题单 · 整场练习 · 资料与维护

一份按知识点和章节组织的算法入门题单。保留题目、学习资料与题解的外部链接，并提供可离线使用的交互网页。

路线	章节	题量	练习重点
LeetCode 算法主线	18	160	常见模型、数据结构与解题方法
AtCoder · 洛谷	12	80	完整程序、输入输出与综合应用
Codeforces 入门	3	18	读题、观察、构造与基础竞赛题

共 236 道不同题目：138 道 LeetCode、40 道 AtCoder、40 道洛谷、18 道 Codeforces。22 道题跨路线共享，完成一次即可。

开始使用

阅读题单： 在下方选择路线，展开章节。每章包含学习目标、C++ 工具、阅读入口、题目和过关标准。

交互网页： 下载仓库后，在浏览器中打开 index.html。支持章节切换、搜索、状态筛选、复盘笔记及进度导入导出，无需安装依赖。

网页不内置完成记录，进度只保存在当前浏览器中，不上传到仓库或服务器。换浏览器或设备前，可导出进度后再导入；导出的文件可能包含自己的笔记，请自行保存。

如何选择路线

• 准备系统练习算法： 从算法主线开始，按章节理解模型与实现。
• 需要练完整程序： 从 AtCoder · 洛谷第 1 章开始，补齐输入输出、多组测试和边界调试。
• 准备接触竞赛： 能独立完成完整程序和简单题后，进入 Codeforces 入门；专题练习与整场训练可以穿插进行。

标记	建议做法
快练	独立实现，确认基本操作与边界
精做 / 主练	解释关键思路、正确性、时间与空间复杂度
选做	根据知识缺口选择，入门阶段可后置
共享题	两条路线使用同一道题，网页同步状态与笔记

先独立尝试，再按需要阅读提示和题解。提示后完成的题，可间隔其他练习后闭卷复测。通过评测是反馈之一，能解释并独立实现才是学习目标。

C++ 起步与使用说明 · 章节复盘模板

完整题单

LeetCode 算法主线

按专题建立算法与数据结构的知识体系，包含 138 道 LeetCode 与 22 道完整程序练习。

章节	内容	题量
01	模拟、数组与枚举	11
02	哈希与计数	8
03	双指针与滑动窗口	8
04	前缀和与差分	6
05	二分查找与二分答案	11
06	链表与指针	9
07	栈、堆与单调结构	11
08	排序、分治与贪心	10
09	位运算与基础数学	9
10	树、递归与子问题返回值	15
11	图遍历、BFS 与拓扑排序	10
12	搜索、回溯与剪枝	10
13	并查集、最短路与最小生成树	8
14	基础动态规划	11
15	背包、计数与状态设计	9
16	子序列、区间与树形 DP	7
17	KMP 与字典树	3
18	树状数组与线段树	4

01 · 模拟、数组与枚举 · 11 题

学习目标： 根据文字规则实现程序，并从约束缩小枚举范围。

C++ 工具： vector、string、引用、size 与 reserve、标准输入输出。

阅读入口

• 进入本章： 数组理论基础。只复查连续存储、下标、插入删除；已能解释的部分直接略过。
• 做 ABC083B 前： OI Wiki：枚举 · 官网。只看枚举的要点：解空间、枚举范围、减少自由变量；先不看例题代码。

#	题目	投入	训练重点	参考
001	PracticeA · Welcome to AtCoder	快练 · 共享	标准输入输出与精确输出格式；不使用 LeetCode 的 Solution 模板。	对应方法 · 备用
002	LC 27 · 移除元素	精做	快慢指针维护有效前缀，区分返回长度与修改原数组。	题解
003	LC 283 · 移动零	快练	保持非零元素的相对顺序，比较交换与覆盖。	题解
004	LC 26 · 删除有序数组中的重复项	快练	有序性怎样帮助去重；写指针代表什么。	题解
005	LC 977 · 有序数组的平方	精做	利用两端绝对值，从结果数组末尾填入。	题解
006	LC 344 · 反转字符串	快练	左右指针与奇偶长度边界。	题解
007	LC 59 · 螺旋矩阵 II	精做	逐层填数，写清每条边的开闭范围。	题解 · 备用
008	LC 54 · 螺旋矩阵	精做	从生成矩阵迁移到遍历矩阵；单行、单列不能重复访问。	题解 · 备用
009	ABC083B · Some Sums	精做 · 共享	枚举整数并拆数位，明确取模与整除各自的作用。	对应方法 · 备用
010	ABC085C · Otoshidama	精做 · 共享	用数量约束消去一个变量，检验无解与零张数。	对应方法 · 备用
011	ABC086C · Traveling	精做 · 共享	由曼哈顿距离与奇偶性推导可达条件，避免逐步模拟时间。	对应方法 · 备用

过关标准： 能独立写标准输入输出程序；解释有效数组前缀；把三重枚举降成两重，并算清操作次数。

02 · 哈希与计数 · 8 题

学习目标： 从逐对比较转为记录信息；区分频次数组、集合、映射的用途。

C++ 工具： unordered_map、unordered_set、find、count、pair；哈希平均成本与最坏成本不同。

阅读入口

• 进入本章： 哈希表理论基础。看数组、set、map 各适合记录什么；只读 C++，暂不深挖哈希表源码。

#	题目	投入	训练重点	参考
012	LC 242 · 有效的字母异位词	快练	字符频次，使用 26 个槽位前先确认字符范围。	题解
013	LC 383 · 赎金信	快练	从频次相等改为库存足够。	题解
014	LC 349 · 两个数组的交集	快练	集合去重与交集；比较计数数组和集合。	题解
015	LC 217 · 存在重复元素	快练	用集合判断重复，注意空间成本。	题解
016	LC 1 · 两数之和	精做	查询补数后再插入，避免同一元素使用两次。	题解
017	LC 49 · 字母异位词分组	精做	设计同组字符串的共同键，计入排序或计数键的成本。	题解
018	LC 128 · 最长连续序列	精做	只从连续段起点向后找；解释为什么不是平方复杂度。	题解 · 备用
019	LC 454 · 四数相加 II	精做	把四数组配对拆为两组和；估计 O(n²) 时间和空间。	题解 · 备用

过关标准： 能说明查询和插入的先后顺序；能为哈希键构造、排序与存储分别计成本。

03 · 双指针与滑动窗口 · 8 题

学习目标： 能解释何时移动哪个指针，以及移动后为什么不会漏解。

C++ 工具： sort、字符计数、string 下标；注意排序对后续指针移动的影响。

阅读入口

• 尝试 167 后： 167 两数之和 II - 输入有序数组：对应讲解。只看利用有序性排除候选的证明，再回到自己的指针更新条件。
• 尝试 209 后： 209 长度最小的子数组：对应讲解。看窗口表示的区间与收缩条件，再关掉题解重写。
• 尝试 3 后： 3 无重复字符的最长子串：对应讲解。比较频次维护与最后出现位置两种思路，只先写熟一种。

#	题目	投入	训练重点	参考
020	LC 167 · 两数之和 II - 输入有序数组	精做	有序数组配对；论证和偏小时为什么移动左端。	题解
021	LC 15 · 三数之和	精做	排序、固定一个数、双指针；区分不同层的去重。	题解
022	LC 11 · 盛最多水的容器	精做	证明移动较短边不会错过更优解。	题解 · 备用
023	LC 643 · 子数组最大平均数 I	快练	固定长度窗口，维护加入和移出的元素。	题解
024	LC 209 · 长度最小的子数组	精做	正数数组中的最短可行窗口；不要把方法套到任意负数数组。	题解
025	LC 3 · 无重复字符的最长子串	精做	维护窗口内字符不重复；循环收缩直到重新合法。	题解
026	LC 438 · 找到字符串中所有字母异位词	精做	固定窗口频次与目标频次匹配。	题解 · 备用
027	LC 567 · 字符串的排列	快练	将“返回所有起点”迁移为“是否存在”，闭卷完成。	题解 · 备用

过关标准： 能区分固定窗口、可变窗口、左右夹逼；解释 209 的正数条件为何关键。

04 · 前缀和与差分 · 6 题

学习目标： 把反复区间查询、批量区间修改转为预处理与端点更新。

C++ 工具： 二维 vector、long long、0/1 下标转换。

阅读入口

• 做 303 前： OI Wiki：前缀和与差分 · 官网。只看一维前缀和；用长度 n+1 的数组写出闭区间求和。
• 做 304 前： OI Wiki：前缀和与差分 · 官网。再看二维前缀和，用重叠区域解释容斥。
• 做 1109 前： OI Wiki：前缀和与差分 · 官网。读差分与前缀和的互逆关系；到 P3397 前再读二维差分。

#	题目	投入	训练重点	参考
028	LC 303 · 区域和检索 - 数组不可变	快练	前缀和一次预处理、多次查询；空前缀初始化。	题解
029	LC 304 · 二维区域和检索 - 矩阵不可变	精做	二维前缀和与矩形查询，边界补零。	题解 · 备用
030	LC 560 · 和为 K 的子数组	精做	前缀和配对加频次哈希；允许负数，不能直接套普通滑窗。	题解
031	LC 1109 · 航班预订统计	精做	区间加的差分端点更新，最后统一还原。	题解 · 备用
032	LC 1094 · 拼车	精做	上下车事件和容量检查，注意终点下车不占后续位置。	题解 · 备用
033	P3397 · 地毯	精做 · 共享	二维差分四角更新，再通过二维前缀和恢复覆盖次数。	对应方法 · 备用

过关标准： 能闭卷推导二维前缀和的加减关系和差分四角；解释 560 为什么先查再加频次。

05 · 二分查找与二分答案 · 11 题

学习目标： 从找下标过渡到找最小可行答案；先证明单调性再二分。

C++ 工具： lower_bound、upper_bound、避免溢出的中点、整数上取整。

阅读入口

• 做 704 前： OI Wiki：二分 · 官网。看整数区间二分与边界；先固定一种区间约定，不同时背多个模板。
• 做 875 前： OI Wiki：二分 · 官网。再看二分答案：答案范围、判定函数、单调性；暂不读三分。

#	题目	投入	训练重点	参考
034	LC 704 · 二分查找	快练	手写二分，检查单元素与找不到的情况。	题解
035	LC 35 · 搜索插入位置	快练	第一个不小于目标的位置，允许答案为 n。	题解
036	LC 34 · 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置	精做	左右边界，处理全部相同、目标缺失。	题解
037	LC 744 · 寻找比目标字母大的最小字母	快练	严格大于与不小于的区别，以及循环回到首字符。	题解 · 备用
038	LC 74 · 搜索二维矩阵	精做	把二维有序结构映射成一维下标。	题解 · 备用
039	LC 153 · 寻找旋转排序数组中的最小值	精做	利用旋转数组分段有序，判断最小值所在侧。	题解 · 备用
040	LC 33 · 搜索旋转排序数组	精做	判断哪半段有序，再判断目标是否在其中。	题解 · 备用
041	LC 162 · 寻找峰值	精做	沿斜率寻找局部峰；不要误称整个谓词天然单调。	题解 · 备用
042	LC 875 · 爱吃香蕉的珂珂	精做	把速度转为耗时可行性，累加耗时用足够宽的整数。	题解 · 备用
043	LC 1011 · 在 D 天内送达包裹的能力	精做	把容量转为天数判定；保持货物原顺序。	题解 · 备用
044	LC 410 · 分割数组的最大值	选做	与 1011 对照；说明非负数条件下“至多 k 段”与细分为 k 段的关系。	题解 · 备用

过关标准： 能解释区间不变量与循环结束返回值；能自己写一个答案判定函数并证明单调。

06 · 链表与指针 · 9 题

学习目标： 理解链表的指针关系，独立实现常见操作并处理边界。

C++ 工具： ListNode*、虚拟头、引用与指针传参、对象生命周期。

阅读入口

• 进入本章： 链表理论基础。只复查插入删除、虚拟头与存储方式；遇断链必须画图。

#	题目	投入	训练重点	参考
045	LC 203 · 移除链表元素	快练	虚拟头统一头节点删除与中间删除。	题解
046	LC 206 · 反转链表	精做	先保存后继再改 next，明确三个指针含义。	题解
047	LC 21 · 合并两个有序链表	快练	有序链表归并与剩余部分连接。	题解
048	LC 876 · 链表的中间结点	快练	快慢指针，约定偶数长度的中点。	题解
049	LC 141 · 环形链表	快练	相遇判环，访问 next 前判断合法性。	题解
050	LC 19 · 删除链表的倒数第 N 个结点	精做	保持指针间距，覆盖删除头节点。	题解
051	LC 142 · 环形链表 II	精做	用路程关系推导环入口，不能只背相遇后移动规则。	题解
052	LC 24 · 两两交换链表中的节点	精做	局部交换前保留前驱与后继，处理奇数尾节点。	题解
053	LC 234 · 回文链表	选做	中点、反转、比较组合应用；说明是否恢复原链表。	题解 · 备用

过关标准： 能画出每次改 next 前后的关系；解释空链表、单节点与头节点删除。

07 · 栈、堆与单调结构 · 11 题

学习目标： 从容器操作进入“保留哪些候选、何时淘汰候选”的思考。

C++ 工具： stack、queue、deque、priority_queue、greater；pop 不返回元素。

阅读入口

• 做 20 前： 栈与队列理论基础。看容器接口与栈/队列行为，不必手写所有底层实现。
• 做 1046 前： Hello 算法：堆。看大小顶堆、插入删除、建堆和 C++ priority_queue 用法。
• 做 496 前： 代码随想录：每日温度中的单调栈入门。只读“单调栈适用什么问题”和栈存下标的意义；不提前读 739 的完整代码。
• 尝试 347 后： NeetCode：前K个高频元素的堆法与频率分桶。堆法先理解；再读频率桶，解释哈希统计加桶为什么平均 O(n)。

#	题目	投入	训练重点	参考
054	LC 20 · 有效的括号	快练	括号类型匹配与空栈边界。	题解
055	LC 1047 · 删除字符串中的所有相邻重复项	快练	用栈消除相邻元素，不反复删除字符串中部。	题解
056	LC 150 · 逆波兰表达式求值	精做	后缀表达式求值，减法除法的操作数顺序。	题解
057	LC 232 · 用栈实现队列	快练	双栈队列；摊还成本不等于每次操作都 O(1)。	题解
058	LC 155 · 最小栈	精做	普通栈与最小值信息同步，处理重复最小值。	题解
059	LC 1046 · 最后一块石头的重量	快练	最大堆模拟；区分建堆与反复插入的成本。	题解
060	LC 347 · 前 K 个高频元素	精做	频次统计加 Top K；堆法基线后补频率桶，满足优于 O(n log n) 的目标。	题解
061	LC 496 · 下一个更大元素 I	精做	单调栈维护还没找到答案的下标。	题解
062	LC 739 · 每日温度	精做	从找数值迁移到找距离；解释何时出栈。	题解
063	LC 239 · 滑动窗口最大值	选做	单调队列同时处理失效下标和劣势候选。	题解 · 备用
064	LC 84 · 柱状图中最大的矩形	选做	左右第一个更小位置、哨兵与等高柱子的边界约定。	题解 · 备用

过关标准： 能用每个元素最多进出一次解释单调结构的线性复杂度；能分析堆操作总成本。

08 · 排序、分治与贪心 · 10 题

学习目标： 把排序作为组织信息的手段；每个贪心选择都要给出局部交换或覆盖证明。

C++ 工具： sort 比较器必须严格；明确递归函数的含义与终止条件。

阅读入口

• 做 912 前： Hello 算法：快速排序 · 官网。看划分、递归边界、退化情况；理解三数取中，但不混用不同 partition 约定。
• 做 455 前： 贪心算法理论基础。看局部最优与整体最优的联系，避免“感觉可行”当证明。

#	题目	投入	训练重点	参考
065	LC 912 · 排序数组	精做	先独立实现归并排序；再用快排巩固划分，分析重复元素与最坏情况。	题解 · 备用
066	LC 215 · 数组中的第K个最大元素	精做	先用堆理解，再学快速选择；平均 O(n)，最坏 O(n²)，不能把堆法当作线性算法。	题解
067	LC 455 · 分发饼干	快练	排序后匹配最小可满足对象。	题解
068	LC 121 · 买卖股票的最佳时机	快练	记录此前最低价，区分买入在卖出之前。	题解
069	LC 55 · 跳跃游戏	精做	维护当前能够覆盖的最远位置。	题解
070	LC 45 · 跳跃游戏 II	精做	按可达区间分层推进，解释增加一次跳跃的时机。	题解 · 备用
071	LC 56 · 合并区间	精做	按左端点排序后合并，确认端点相等是否重叠。	题解
072	LC 435 · 无重叠区间	精做	按结束时间选区间，给出交换论证。	题解
073	LC 452 · 用最少数量的箭引爆气球	精做	与 435 对照端点相等的含义，避免直接复制条件。	题解 · 备用
074	LC 763 · 划分字母区间	精做	最后出现位置决定当前段必须延伸到哪里。	题解 · 备用

过关标准： 能区分归并与快排成本；会构造一个反例推翻错误的贪心排序规则。

09 · 位运算与基础数学 · 9 题

学习目标： 理解整数算法与基础数学：位操作、gcd、筛法与快速幂。

C++ 工具： 无符号位运算、long long、整数除法、std::gcd（C++17）；按平台支持选择标准。

阅读入口

• 做 136 前： OI Wiki：位操作 · 官网。只看异或、移位、清除最低位 1；暂不读高级二进制技巧。
• 做 1979 前： OI Wiki：最大公约数 · 官网。看欧几里得算法及 gcd 与 lcm；扩展欧几里得留到后续专题。
• 做 204 前： OI Wiki：筛法 · 官网。先读埃氏筛；只有做 P3383 时再读线性筛与大规模空间开销。
• 做 50 前： OI Wiki：快速幂 · 官网。读按二进制拆指数与迭代快速幂；做 P1226 时加入取模。

#	题目	投入	训练重点	参考
075	LC 136 · 只出现一次的数字	快练	异或的抵消规律，解释前提是其余数字恰好成对。	题解 · 备用
076	LC 191 · 位 1 的个数	快练	清掉最低位 1，注意整数位宽和符号。	题解 · 备用
077	LC 338 · 比特位计数	精做	从去掉最低位 1 的数推出计数；此处只掌握递推，不展开整章 DP。	题解 · 备用
078	LC 1979 · 找出数组的最大公约数	快练	题目要求最小数与最大数的 gcd，不是整个数组的 gcd；手写辗转相除。	题解 · 备用
079	LC 204 · 计数质数	精做	埃氏筛从 p² 开始标记，处理 0、1 和上界不含 n。	题解 · 备用
080	LC 172 · 阶乘后的零	精做	统计阶乘中质因子 5 的指数，不实际计算阶乘。	题解 · 备用
081	LC 50 · Pow(x, n)	精做	快速幂；先扩大指数类型再取负，处理最小 int。	题解 · 备用
082	P1226 · 快速幂	精做 · 共享	模快速幂、乘法中间值和精确输出格式；不要用浮点 pow 代替。	对应方法 · 备用
083	P3383 · 线性筛素数	选做 · 共享	线性筛模板的大规模实现；先算 n=10^8 的标记与素数表内存，再选择存储与 I/O。	对应方法 · 备用

过关标准： 能写欧几里得算法和模快速幂；能估计筛表内存；知道模运算不能随意做除法。

10 · 树、递归与子问题返回值 · 15 题

学习目标： 明确递归函数承诺返回什么；区分传入路径信息与汇总子树结果。

C++ 工具： TreeNode*、递归栈、queue、unordered_map；避免无意复制子数组。

阅读入口

• 做 144 前： 代码随想录：二叉树的递归遍历。看函数含义、终止条件、单层逻辑；尝试后再比较代码。
• 做 102 前： 代码随想录：二叉树的层序遍历。只读队列与按层分组的思路，先自己实现。
• 做 110 前： 代码随想录：二叉树理论基础。复查高度、深度与节点数；空树定义保持一致。

#	题目	投入	训练重点	参考
084	LC 144 · 二叉树的前序遍历	快练	前序递归，另用显式栈独立写一次。	题解
085	LC 94 · 二叉树的中序遍历	快练	中序递归；练迭代版时解释当前指针与栈。	题解
086	LC 145 · 二叉树的后序遍历	快练	后序访问顺序，理解汇总子树信息的时机。	题解
087	LC 104 · 二叉树的最大深度	快练	返回子树高度；递归空间是 O(h)。	题解
088	LC 226 · 翻转二叉树	快练	交换子树与空节点边界。	题解
089	LC 101 · 对称二叉树	精做	成对比较镜像节点，参数含义决定递归配对。	题解
090	LC 102 · 二叉树的层序遍历	精做	固定当前层节点数，避免与新入队节点混合。	题解
091	LC 110 · 平衡二叉树	精做	一次后序返回高度或失败标记，避免反复计算高度。	题解
092	LC 98 · 验证二叉搜索树	精做	约束来自全部祖先；仅比较父子不足以验证 BST。	题解
093	LC 230 · 二叉搜索树中第 K 小的元素	快练	利用 BST 中序有序，得到第 k 个元素。	题解
094	LC 112 · 路径总和	快练	必须到叶节点才检查路径和。	题解 · 备用
095	LC 113 · 路径总和 II	精做	收集路径并撤销修改，为回溯章作准备。	题解 · 备用
096	LC 236 · 二叉树的最近公共祖先	精做	解释左右子树返回值如何决定最近公共祖先。	题解
097	LC 543 · 二叉树的直径	精做	区分向父节点返回的单链高度与本节点经过两边的答案。	题解
098	LC 105 · 从前序与中序遍历序列构造二叉树	精做	按中序位置划分左右子树，范围参数避免反复切片。	题解

过关标准： 能闭卷写一次迭代遍历；能把“高度/路径/整棵子树答案”分开定义，并用树高分析栈空间。

11 · 图遍历、BFS 与拓扑排序 · 10 题

学习目标： 把题面转成状态和边；区分遍历、无权最短路、依赖顺序。

C++ 工具： 邻接表、二维 visited、方向数组、queue；遍历前初始化状态。

阅读入口

• 做 733 前： 代码随想录：图论深搜理论基础。读搜索入口、边界、标记时机；回看图表示的邻接表即可。
• 做 994 前： 代码随想录：图论广搜理论基础。读多源入队与层数；理解相同边权下 BFS 的最短路性质。
• 做 207 前： 代码随想录：拓扑排序精讲（软件构建）。读入度、零入度队列、处理计数；注意边的方向由依赖语义决定。

#	题目	投入	训练重点	参考
099	LC 733 · 图像渲染	快练	洪水填充，原颜色等于新颜色时避免无限搜索。	题解 · 备用
100	LC 200 · 岛屿数量	精做	连通块计数，已访问不能重复展开。	题解
101	LC 695 · 岛屿的最大面积	快练	在连通块遍历中累计面积。	题解
102	LC 994 · 腐烂的橘子	精做	多源 BFS 与分钟层次；检查最终仍未到达的节点。	题解 · 备用
103	LC 1091 · 二进制矩阵中的最短路径	精做	八方向无权最短路，明确路径长度按格子数计算。	题解 · 备用
104	LC 130 · 被围绕的区域	精做	从边界找保留区域，逆向思考被包围区域。	题解 · 备用
105	LC 417 · 太平洋大西洋水流问题	选做	从海岸反向搜索，再取可达集合交集。	题解 · 备用
106	LC 207 · 课程表	精做	有向依赖图建模与拓扑判环。	题解
107	LC 210 · 课程表 II	快练	从“存在顺序”迁移到“输出顺序”。	题解 · 备用
108	LC 785 · 判断二分图	精做	用双色染色判断二分图，处理非连通图。	题解 · 备用

过关标准： 能说明何时标记 visited；比较网格和邻接表的成本；能通过处理节点数判断有向环。

12 · 搜索、回溯与剪枝 · 10 题

学习目标： 写清搜索树的一层代表什么、有哪些选择、何时撤销；从枚举升级到系统搜索。

C++ 工具： 递归传引用、push_back/pop_back、used、排序去重。

阅读入口

• 做 78 前： 回溯算法理论基础。看树形模型、递归参数和终止；不要一次背全部去重模板。
• 做 90 前： 回溯算法理论基础。重新画小规模重复元素的搜索树，解释哪些分支重复。

#	题目	投入	训练重点	参考
109	LC 78 · 子集	精做	子集的选与不选，或者起点式枚举，先写熟一种。	题解
110	LC 77 · 组合	快练	限定选择数量，并用剩余数量剪枝。	题解
111	LC 46 · 全排列	精做	全排列使用 used，路径与选择空间分离。	题解
112	LC 39 · 组合总和	精做	可重复选与起点控制；说明正数条件如何保证搜索终止。	题解
113	LC 90 · 子集 II	精做	重复元素子集，排序后进行同层去重。	题解
114	LC 47 · 全排列 II	精做	重复元素排列，解释 used 和前一个重复元素的关系。	题解
115	LC 40 · 组合总和 II	精做	每个元素只能用一次，结合和限制与同层去重。	题解 · 备用
116	LC 79 · 单词搜索	精做	网格路径搜索，撤销 visited；与 200 的永久标记对照。	题解 · 备用
117	LC 131 · 分割回文串	精做	枚举切割位置并判断回文，先不做 DP 预处理优化。	题解 · 备用
118	LC 51 · N 皇后	选做	按行搜索，维护列和对角线约束；先写普通回溯。	题解 · 备用

过关标准： 能区分同层去重和同路径限制；从搜索树估计指数成本，而不是认为剪枝后一定很快。

13 · 并查集、最短路与最小生成树 · 8 题

学习目标： 掌握图算法的适用条件，独立实现并分析时间与空间复杂度。

C++ 工具： 邻接表、边结构体、小顶堆 pair、路径压缩、按大小合并、long long 距离。

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• 做 P3367 前： 代码随想录：并查集理论基础。看集合代表、合并、路径压缩；同时使用按大小或按秩合并。
• 做 743 前： Dijkstra：朴素版。先看非负边条件与松弛；掌握朴素版的选择过程。
• 做 P4779 前： Dijkstra：堆优化。看堆优化、过期状态跳过与邻接表复杂度。
• 做 1584 前： 最小生成树：Prim。看最小生成树的割与每次加入的边；区别于累计路径距离。
• 做 P3366 前： 最小生成树：Kruskal。看边排序、并查集判环、选满 n-1 条边及非连通判断。

#	题目	投入	训练重点	参考
119	P3367 · 并查集	精做 · 共享	从零写并查集并处理完整输入，按题意输出 Y/N。	对应方法
120	LC 684 · 冗余连接	精做	加边时检测已有连通性，找到形成环的边。	题解
121	LC 547 · 省份数量	快练	把邻接矩阵转换为集合合并；也可对照 DFS。	题解
122	LC 721 · 账户合并	选做	把相同邮箱映射到节点，连接后聚合和排序。	题解 · 备用
123	LC 743 · 网络延迟时间	精做	非负边单源最短路，处理不可达节点。	题解
124	P4779 · 单源最短路径（标准版）	精做 · 共享	堆优化 Dijkstra 适应稀疏大图；不要默认 SPFA 能过所有数据。	对应方法
125	LC 1584 · 连接所有点的最小费用	精做	隐含完全图优先试 O(n²) Prim，避免生成并排序全部边。	题解
126	P3366 · 最小生成树	精做 · 共享	用 Kruskal 完成竞赛输入输出，非连通图输出题目指定结果。	对应方法

过关标准： 能区分 BFS、Dijkstra、Prim/Kruskal；最短路树和最小生成树的优化目标不同。

14 · 基础动态规划 · 11 题

学习目标： 从递归子问题得到记忆化与递推；状态定义必须先于转移代码。

C++ 工具： 一维二维 vector、初始化、无穷大哨兵、滚动变量；先正确再压缩空间。

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• 做 70 前： 动态规划理论基础。只读状态、递推、初始化、遍历顺序；用小样例手算，不先背一串公式。
• 做 dp_a 前： 动态规划理论基础。回顾最优值型 DP 与方案数型 DP 的区别；自己从最后一步分类。

#	题目	投入	训练重点	参考
127	LC 70 · 爬楼梯	快练	从最后一步分类；画递归树看重复子问题。	题解
128	LC 746 · 使用最小花费爬楼梯	精做	定义到达位置的最小代价，仔细处理起点和顶部。	题解
129	DP A · Frog 1	精做 · 共享	Frog 1：最后一步来源为前一或前二位置，完整输入输出。	对应方法
130	DP B · Frog 2	精做 · 共享	Frog 2：把两个来源推广为 K 个，推导 O(NK)。	对应方法
131	LC 198 · 打家劫舍	精做	取当前房屋与不取两种选择，避免相邻。	题解
132	LC 213 · 打家劫舍 II	精做	环拆成两个线性范围，处理只有一间房。	题解
133	DP C · Vacation	精做 · 共享	Vacation：状态增加上一次活动类别，不能重复选相邻类别。	对应方法
134	LC 53 · 最大子数组和	精做	状态定义为“必须以当前位置结尾”，区别局部状态与全局答案。	题解
135	LC 62 · 不同路径	快练	二维网格计数，明确首行首列边界。	题解
136	LC 63 · 不同路径 II	精做	障碍改变可达性，起点终点被挡与初始化。	题解
137	LC 64 · 最小路径和	精做	从路径计数迁移到路径最小代价。	题解 · 备用

过关标准： 每题能写状态含义、转移来源、初始化、依赖顺序、时间空间复杂度。

15 · 背包、计数与状态设计 · 9 题

学习目标： 区分物品能用几次、求可行性/最优值/方案数，以及顺序是否造成新方案。

C++ 工具： 二维到一维压缩、倒序/正序依赖、计数整数范围。

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• 做 dp_d 前： 01 背包：二维状态。先完整理解“前 i 件、容量 j”的二维模型，手填一张小表。
• 完成 dp_d 后、做 416 前： 01 背包：一维压缩。再压成一维；解释读的是上一层还是本层，不只记倒序。
• 做 322 前： 完全背包：二维状态。理解物品可重复使用，再看一维容量正序。
• 做 518、377 前： 完全背包：一维压缩。用 1、2 凑 3 手算，区分组合和排列的循环顺序。

#	题目	投入	训练重点	参考
138	DP D · Knapsack 1	精做 · 共享	标准 0/1 背包，先二维后压缩；估算价值总和的整数范围。	对应方法
139	LC 416 · 分割等和子集	精做	把等和划分转化为恰好达到总和一半的可行性。	题解
140	LC 494 · 目标和	精做	符号选择转化为子集和计数；零元素与无解条件。	题解 · 备用
141	LC 474 · 一和零	选做	两个容量维度的 0/1 背包，两个容量都要倒序。	题解 · 备用
142	LC 322 · 零钱兑换	精做	完全背包求最少硬币，区分不可达与零枚硬币。	题解
143	LC 518 · 零钱兑换 II	精做	完全背包数无序组合，空方案初始化。	题解
144	LC 377 · 组合总和 Ⅳ	精做	顺序不同算不同方案，改变循环含义；注意中间计数范围。	题解 · 备用
145	LC 139 · 单词拆分	精做	前缀能否拆分，枚举最后一个词；计入子串构造成本。	题解 · 备用
146	DP E · Knapsack 2	选做 · 共享	容量太大时按总价值定义最小重量，练习重新设计状态。	对应方法

过关标准： 能解释 0/1 背包倒序的来源；能用小样例区分 518 的组合与 377 的排列。

16 · 子序列、区间与树形 DP · 7 题

学习目标： 由序列状态扩大到双序列、区间和树；先完成基础三题再决定是否深入。

C++ 工具： 二维表、路径恢复、后序遍历、模数计算；大深度树注意递归栈。

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• 尝试 300 后： 300 最长递增子序列：对应讲解。第一次先做 O(n²) DP；尝试后再读题解。O(n log n) 优化可留第二轮。
• 做 516、dp_n 前： OI Wiki：区间 DP · 官网。只在进入选做题时读：区间端点、分割点、按长度递增的顺序。
• 做 dp_p 前： OI Wiki：树形 DP · 官网。只读树上父子状态依赖，结合第 10 章后序汇总；先不读换根 DP。

#	题目	投入	训练重点	参考
147	LC 300 · 最长递增子序列	精做	以 i 结尾的 LIS，先理解 O(n²) 转移，再考虑二分优化。	题解
148	LC 1143 · 最长公共子序列	精做	两个前缀的 LCS 长度，推导相等与不等时的来源。	题解
149	DP F · LCS	精做 · 共享	输出 LCS 本身，沿 DP 表恢复一个合法最优序列。	对应方法
150	LC 72 · 编辑距离	精做	插入、删除、替换对应哪些子问题；初始化空字符串。	题解 · 备用
151	LC 516 · 最长回文子序列	选做	区间两端是否匹配决定最长回文子序列。	题解 · 备用
152	DP N · Slimes	选做 · 共享	Slimes：枚举最后合并的分割点，前缀和求区间代价；先用 O(n³)。	对应方法 · 备用
153	DP P · Independent Set	选做 · 共享	Independent Set：定义节点黑/白状态，组合子树方案并取模。	对应方法 · 备用

过关标准： 能区分子数组与子序列；能恢复一条 LCS；进阶时能按区间长度或树的依赖顺序计算。

17 · KMP 与字典树 · 3 题

学习目标： 理解 KMP 与前缀函数，利用字符串前缀信息减少重复工作。

C++ 工具： string、前缀函数、数组型 Trie 节点与终止标记。

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• 做 28 前： KMP 与前缀表。先学前后缀、失配回退；固定一种前缀函数定义，区分不同 next 数组约定。
• 做 208 前： OI Wiki：字典树 · 官网。只读插入、查询、前缀查询；暂不读可持久化 Trie 或异或 Trie。

#	题目	投入	训练重点	参考
154	LC 28 · 找出字符串中第一个匹配项的下标	精做	先明白朴素匹配，再独立实现 KMP；本题不用 find 代替训练。	题解
155	P3375 · KMP	精做 · 共享	输出所有匹配位置及前缀函数，处理重叠匹配与下标转换。	对应方法
156	LC 208 · 实现 Trie（前缀树）	选做	实现 Trie 插入、完整查询和前缀查询，处理重复插入。	题解 · 备用

过关标准： 能手推重复字符样例的前缀函数；区分 Trie 中完整单词和仅为前缀。

18 · 树状数组与线段树 · 4 题

学习目标： 竞赛扩展章：静态前缀和不能处理频繁修改时，学习动态区间查询。

C++ 工具： lowbit、1-based 下标、long long、递归区间与懒标记。

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• 做 P3374 前： OI Wiki：树状数组 · 官网。只读单点加与前缀和，用 1 到 8 的下标手画覆盖关系。
• 做 P3368 前： OI Wiki：树状数组 · 官网。回看第 4 章差分，再学习区间加、单点查。
• 做 P3372 前： OI Wiki：线段树基础 · 官网。只读建树、区间和、区间加、懒标记；进阶内容按需扩展。

#	题目	投入	训练重点	参考
157	P3374 · 树状数组 1	选做 · 共享	树状数组单点加、区间和；写出两个 lowbit 循环的含义。	对应方法 · 备用
158	LC 307 · 区域和检索 - 数组可修改	选做	将“修改成 val”转为增量，复用树状数组；也可第二轮用线段树。	方法 · 备用
159	P3368 · 树状数组 2	选做 · 共享	差分加树状数组，实现区间加与单点查。	对应方法 · 备用
160	P3372 · 线段树 1	选做 · 共享	线段树区间加与区间求和，正确传递懒标记并使用 long long。	对应方法 · 备用

过关标准： 能说明树状数组每个节点覆盖的区间；能区分修改为新值与增加 delta。

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AtCoder · 洛谷完整程序

围绕标准输入输出、竞赛建模与综合应用训练。40 道 AtCoder、40 道洛谷，其中 22 道与算法主线共享。

章节	内容	题量
01	完整程序与模拟	8
02	枚举与数学观察	7
03	排序、计数与贪心	7
04	前缀和、差分与窗口	7
05	二分查找与二分答案	5
06	栈、队列与堆	4
07	搜索、回溯与图遍历	6
08	基础数学、素数与模运算	6
09	基础 DP、背包与序列	9
10	图算法、树上累加与依赖关系	7
11	蓝桥真题与综合应用	6
12	后续扩展：全部选做	8

01 · 完整程序与模拟 · 8 题

学习目标： 输入协议 → 状态变量 → 状态更新 → 输出时机；独立完成编译、运行和提交。

C++ 工具： main、cin/cout、string、vector；多组状态重置，按题意读到终止标记。

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• 进入本章： C++ 起步与使用说明。先读竞赛输入输出部分；基础语法已会的部分略过。

#	题目	投入	训练重点	参考
001	PracticeA · Welcome to AtCoder	快练 · 共享	独立写完整程序，走通编译、运行、提交	对应方法 · 备用
002	ABC284 B · Multi Test Cases	快练	T 组输入、每组计数重置、逐组输出	—
003	ABC081 B · Shift only	快练	数组整体模拟、停止条件、循环次数估计	—
004	ABC332 B · Glass and Mug	主练	按优先级执行动作，正确更新两个容器的状态	—
005	ABC293 B · Call the ID Number	主练	顺序处理和标记数组，构造并输出结果集合	—
006	P5734 · 文字处理软件	主练	string 操作、不同操作的读入、查找失败与下标	—
007	P1042 · 乒乓球	主练	跨行读字符、E 终止、两套计分、局末及 0:0 边界	—
008	P1563 · 玩具谜题	选做	圆环方向、负数取模，把文字规则写成确定的状态变化	—

过关标准： 能从空文件完成程序；能解释首个整数的含义、何时初始化和何时输出。完成本章主练就可进入后面的 CF 桥接，不必等 008。

02 · 枚举与数学观察 · 7 题

学习目标： 先确定枚举对象与范围，再估算总成本；利用约束减少自由变量。

C++ 工具： 整数除法与取模、long long；选做再补位运算与 next_permutation。

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• 011 前阅读： OI Wiki：枚举。先确定枚举对象与范围，再估算总成本；利用约束减少自由变量。

#	题目	投入	训练重点	参考
009	ABC083B · Some Sums	快练 · 共享	枚举整数、拆分数位、区分取模和整除	对应方法 · 备用
010	ABC087 B · Coins	快练	依据小范围选择暴力，估计实际循环上界	—
011	ABC085C · Otoshidama	主练 · 共享	数量约束降维，找任意解，处理无解	对应方法 · 备用
012	ABC086C · Traveling	主练 · 共享	用距离与奇偶性代替逐步模拟；说明可达条件的充分性	对应方法 · 备用
013	ABC338 C · Leftover Recipes	主练	枚举一种选择，再由各项资源限制另一种选择；防止除零	—
014	ABC128 C · Switches	选做	二进制表示选择集合，认识 2^n 枚举的适用规模	—
015	ABC150 C · Count Order	选做	next_permutation、全排列与阶乘复杂度	—

过关标准： 写循环前能估计总操作量；能区分“一个可行解”和“所有方案数”。012 不只背两个判断式，要解释为什么它们足够。

03 · 排序、计数与贪心 · 7 题

学习目标： 用排序安排处理顺序，用计数保留重复信息，并说明贪心选择为什么安全。

C++ 工具： sort、比较器、map、频次数组；计数结果和累加量检查 64 位范围。

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• 按需查阅主线第 2 章资料： 哈希表理论基础。看数组、set、map 各适合记录什么；只读 C++，暂不深挖哈希表源码。
• 按需查阅主线第 8 章资料： Hello 算法：快速排序 · 官网。看划分、递归边界、退化情况；理解三数取中，但不混用不同 partition 约定。
• 按需查阅主线第 8 章资料： 贪心算法理论基础。看局部最优与整体最优的联系，避免“感觉可行”当证明。

#	题目	投入	训练重点	参考
016	P1059 · 明明的随机数	快练	排序去重、有效长度与结果输出	—
017	ABC088 B · Card Game for Two	快练	排序后的轮流选择，解释选择大数的理由	—
018	ABC137 C · Green Bin	主练	为同类字符串设计共同表示，再计数配对	—
019	ABC159 D · Banned K	主练	从总方案数计算删除一个元素的影响，答案用足够宽的整数	—
020	ABC176 C · Step	主练	维护前缀约束，以最小修改推进；累加值的范围	—
021	P1223 · 排队接水	主练	排序贪心、相同时间按编号；平均等待时间与两位小数输出	—
022	P1803 · 凌乱的yyy／线段覆盖	主练	区间选择，说明按结束时间选择的依据及端点条件	—

过关标准： 能对一个错误的排序策略给反例；能说明重复元素按“值”还是按“位置”计数。到这里应已尝试过 CF 桥接和一次陌生题限时练习。

04 · 前缀和、差分与窗口 · 7 题

学习目标： 区分静态区间查询、批量区间修改与窗口维护；推导端点和下标公式。

C++ 工具： 前缀／差分数组、半开区间、双指针；数据量较大时先核算内存。

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• 进入本章，按需读： OI Wiki：前缀和与差分。区分静态区间查询、批量区间修改与窗口维护；推导端点和下标公式。

#	题目	投入	训练重点	参考
023	P8218 · 求区间和	快练	前缀和与闭区间查询；按 n、数组、m、查询的顺序读入	—
024	ABC122 C · GeT AC	主练	把相邻字符对变成前缀计数，处理查询左端边界	—
025	P1614 · 爱与愁的心痛	快练	用 O(n) 固定窗口迁移已学双指针；检查题面允许的 m=0	—
026	ABC229 D · Longest X	主练	把可修改次数变成窗口限制，解释左右指针如何移动	—
027	ABC183 D · Water Heater	主练	半开时间区间差分、端点同时发生事件、64 位累加	—
028	P2367 · 语文成绩	选做	大规模一维差分；只在全部修改后求最小值，核算内存和读入成本	—
029	P3397 · 地毯	主练 · 共享	二维差分、四角更新、还原覆盖次数	对应方法 · 备用

过关标准： 能从头推导区间公式，而不是只记下标；能解释静态前缀和为什么不适合直接处理交错的修改和查询。

05 · 二分查找与二分答案 · 5 题

学习目标： 先定义可行性条件并证明单调性，再选查找边界与区间不变量。

C++ 工具： lower_bound、边界约定、单调 check；复杂度计入一次判定的成本。

阅读入口

• 进入本章，按需读： OI Wiki：二分。先定义可行性条件并证明单调性，再选查找边界与区间不变量。

#	题目	投入	训练重点	参考
030	P2249 · 查找	主练	第一次出现的位置，未找到、全部相同与 1-based 输出	—
031	ABC231 C · Counting 2	主练	排序后回答大量阈值查询，找边界后换算数量	—
032	ABC146 C · Buy an Integer	主练	单调成本下求最大可行值，处理 0、上限与数位变化	—
033	P8647 · [蓝桥杯 2017 省 AB] 分巧克力	主练	由答案构造可行性判定；块数的乘积与总和用 64 位	—
034	P2678 · 跳石头	选做	二分结合贪心检验，额外说明为什么判定过程正确	—

过关标准： 空间中不存在可行值、答案在端点、判定恰好相等时仍能写对；复杂度包含一次 check 的成本。

06 · 栈、队列与堆 · 4 题

学习目标： 栈处理最近未完成项，队列维护先后，堆维护动态极值；区分算法理由与容器作用。

C++ 工具： stack、queue、priority_queue；小根堆配置与表达式操作数顺序。

阅读入口

• 按需查阅主线第 7 章资料： 栈与队列理论基础。看容器接口与栈/队列行为，不必手写所有底层实现。
• 按需查阅主线第 7 章资料： Hello 算法：堆。看大小顶堆、插入删除、建堆和 C++ priority_queue 用法。
• 按需查阅主线第 7 章资料： 代码随想录：每日温度中的单调栈入门。只读“单调栈适用什么问题”和栈存下标的意义；不提前读 739 的完整代码。
• 按需查阅主线第 7 章资料： NeetCode：前K个高频元素的堆法与频率分桶。堆法先理解；再读频率桶，解释哈希统计加桶为什么平均 O(n)。

#	题目	投入	训练重点	参考
035	P1449 · 后缀表达式	主练	多位数解析、数字与表达式终止符、减法／除法的操作数顺序	—
036	P1540 · 机器翻译	主练	队列和存在标记共同维护缓存，命中时按题目规则处理	—
037	P3378 · 堆	快练	priority_queue 配成小根堆，读取不同参数个数的操作	—
038	P1090 · 合并果子	主练	动态选择最小两项，联系哈夫曼树，解释贪心与堆各自的作用	—

过关标准： 能区分“证明为什么选它”和“用什么容器高效找到它”；能估计整个操作序列的成本。

07 · 搜索、回溯与图遍历 · 6 题

学习目标： 定义搜索状态、可选动作与终止条件；区分路径内撤销和遍历的永久标记。

C++ 工具： 递归与撤销、方向数组、邻接表、queue；明确 visited 的作用范围。

阅读入口

• 039 前读基本框架： OI Wiki：DFS。定义搜索状态、可选动作与终止条件；区分路径内撤销和遍历的永久标记。
• 按需查阅主线第 11 章资料： 代码随想录：图论深搜理论基础。读搜索入口、边界、标记时机；回看图表示的邻接表即可。
• 按需查阅主线第 11 章资料： 代码随想录：图论广搜理论基础。读多源入队与层数；理解相同边权下 BFS 的最短路性质。
• 按需查阅主线第 11 章资料： 代码随想录：拓扑排序精讲（软件构建）。读入度、零入度队列、处理计数；注意边的方向由依赖语义决定。

#	题目	投入	训练重点	参考
039	P1706 · 全排列问题	主练	本次用回溯实现，维护已用数字并撤销；题目要求每个数字 5 个场宽	—
040	ABC293 C · Make Takahashi Happy	主练	枚举网格路径，限制路径上的数值不重复，正确恢复现场	—
041	P1219 · 八皇后	选做	列和对角线约束、剪枝、前三解与总方案数	—
042	P1162 · 填涂颜色	主练	从外部区域建模，区分连通的外部与被包围区域	—
043	P1443 · 马的遍历	主练	BFS 最短步数、方向数组、不可达 -1；现题面无需固定输出场宽	—
044	ABC284 C · Count Connected Components	主练	从边表独立建邻接表，遍历非连通图并覆盖孤立点	—

过关标准： 能解释何时回溯撤销、何时永久标记；BFS 能说明为什么首次到达就是最少步数。040 是路径枚举，不能套普通 flood fill 的永久标记。

08 · 基础数学、素数与模运算 · 6 题

学习目标： 串起 gcd/lcm、约数、素数、快速幂与模运算；从循环推导复杂度并检查整数边界。

C++ 工具： gcd、整数范围与模减法；乘法运算前提升类型。

阅读入口

• 按需查阅主线第 9 章资料： OI Wiki：位操作 · 官网。只看异或、移位、清除最低位 1；暂不读高级二进制技巧。
• 按需查阅主线第 9 章资料： OI Wiki：最大公约数 · 官网。看欧几里得算法及 gcd 与 lcm；扩展欧几里得留到后续专题。
• 按需查阅主线第 9 章资料： OI Wiki：筛法 · 官网。先读埃氏筛；只有做 P3383 时再读线性筛与大规模空间开销。
• 按需查阅主线第 9 章资料： OI Wiki：快速幂 · 官网。读按二进制拆指数与迭代快速幂；做 P1226 时加入取模。

#	题目	投入	训练重点	参考
045	ABC148 C · Snack	快练	gcd/lcm 建模、先除后乘及结果的整数范围	—
046	ABC180 C · Cream puff	主练	在平方根范围枚举约数，完全平方数去重、排序输出	—
047	P5723 · 质数口袋	快练	先用试除判素，再用埃氏筛对照；处理 1、预算不足与停止时机	—
048	P1226 · 快速幂	主练 · 共享	推导二进制幂；按题面输出 a^b mod p=s，不能只打印数值	对应方法 · 备用
049	ABC177 C · Sum of product of pairs	主练	把两两乘积求和降为线性计算，处理乘法与取模	—
050	ABC178 C · Ubiquity	选做	容斥与幂计数；先解释集合关系，再处理模减法	—

过关标准： 解释 O(√n)、O(log k) 从哪里来；知道最后赋给 long long 无法修复此前已发生的 int 溢出。线性筛大数据题放在 077，不作为开始参赛的条件。

09 · 基础 DP、背包与序列 · 9 题

学习目标： 状态含义 → 最后一步或最后一次选择 → 转移 → 初始化 → 计算顺序，再解释空间压缩。

C++ 工具： 二维状态、一维压缩、long long、路径／方案恢复。

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• 055 前读 0/1 背包；057 前读完全背包： OI Wiki：背包 DP。状态含义 → 最后一步或最后一次选择 → 转移 → 初始化 → 计算顺序，再解释空间压缩。
• 按需查阅主线第 14 章资料： 动态规划理论基础。只读状态、递推、初始化、遍历顺序；用小样例手算，不先背一串公式。
• 按需查阅主线第 16 章资料： 300 最长递增子序列：对应讲解。第一次先做 O(n²) DP；尝试后再读题解。O(n log n) 优化可留第二轮。
• 按需查阅主线第 16 章资料： OI Wiki：区间 DP · 官网。只在进入选做题时读：区间端点、分割点、按长度递增的顺序。
• 按需查阅主线第 16 章资料： OI Wiki：树形 DP · 官网。只读树上父子状态依赖，结合第 10 章后序汇总；先不读换根 DP。

#	题目	投入	训练重点	参考
051	DP A · Frog 1	主练 · 共享	从最后一步定义状态、递推和初值	对应方法
052	DP B · Frog 2	快练 · 共享	从固定两个来源扩展到 K 个，推导 O(NK)	对应方法
053	DP C · Vacation	主练 · 共享	为相邻选择的限制增加状态，保存必要历史	对应方法
054	DP H · Grid 1	主练	障碍网格计数、起点初始化与取模	—
055	P1048 · 采药	主练	0/1 背包，独立写出二维状态再压缩	—
056	DP D · Knapsack 1	主练 · 共享	将背包迁移到更大的数值范围，检查价值总和；共享题不重做	对应方法
057	P1616 · 疯狂的采药	主练	完全背包，与 055 比较更新顺序；检查 m×t 约束，dp 用 64 位	—
058	DP E · Knapsack 2	选做 · 共享	由数据范围判断原状态不可行，改按价值定义最小重量	对应方法
059	DP F · LCS	主练 · 共享	双序列 DP，并恢复一个实际子序列；需要输出字符串	对应方法

过关标准： 每题先写一句状态定义；能解释初始化和循环顺序。完成 055 后，056 作为迁移校验，不再重复看一整套背包课；059 的恢复部分可以拆成第二次练习。

10 · 图算法、树上累加与依赖关系 · 7 题

学习目标： 从方向、权重和目标选择 BFS、并查集、Dijkstra、最小生成树或拓扑排序。

C++ 工具： 邻接表、入度队列、堆、并查集；长链考虑迭代遍历。

阅读入口

• 按需查阅主线第 13 章资料： 代码随想录：并查集理论基础。看集合代表、合并、路径压缩；同时使用按大小或按秩合并。
• 按需查阅主线第 13 章资料： Dijkstra：朴素版。先看非负边条件与松弛；掌握朴素版的选择过程。
• 按需查阅主线第 13 章资料： Dijkstra：堆优化。看堆优化、过期状态跳过与邻接表复杂度。
• 按需查阅主线第 13 章资料： 最小生成树：Prim。看最小生成树的割与每次加入的边；区别于累计路径距离。
• 按需查阅主线第 13 章资料： 最小生成树：Kruskal。看边排序、并查集判环、选满 n-1 条边及非连通判断。

#	题目	投入	训练重点	参考
060	P3367 · 并查集	主练 · 共享	合并与查找、路径压缩、按要求输出 Y/N	对应方法
061	ABC168 D · .. (Double Dots)	主练	BFS 记录前驱，输出一种合法路径树，理解答案可以不唯一	—
062	ABC138 D · Ki	主练	树上更新汇总后传播，明确父子方向；长链考虑迭代遍历	—
063	P4779 · 单源最短路径（标准版）	主练 · 共享	邻接表、堆优化 Dijkstra、过期堆元素与距离类型	对应方法
064	P3366 · 最小生成树	主练 · 共享	Kruskal 与并查集，检查不连通时输出 orz	对应方法
065	P1113 · 杂务	主练	每行依赖列表以 0 结束；已有依赖顺序下计算最早完成时间	—
066	DP G · Longest Path	主练	本次用入度队列求拓扑序，再在 DAG 上做最长路 DP	—

过关标准： 能比较邻接矩阵与邻接表成本，说明 Dijkstra 的适用条件，以及最短路与最小生成树的目标差异。065 已保证前置任务编号更小，不能用它代替一般拓扑排序的实现检验；066 承担这一任务。

11 · 蓝桥真题与综合应用 · 6 题

学习目标： 先遮住训练重点，由题面和约束独立建立模型；用蓝桥真题检验算法迁移。

C++ 工具： 复用已学容器和算法；从约束检查中间值范围与可行复杂度。

#	题目	投入	训练重点	参考
067	P8780 · [蓝桥杯 2022 省 B] 刷题统计	主练	周期计算与余量处理，不能逐天模拟到 10^18；先检查中间值范围。第 2 章后已有前置	—
068	P8707 · [蓝桥杯 2020 省 AB1] 走方格	快练	从文字规则确定禁入格，检验网格 DP 迁移；第 9 章后做	—
069	P9240 · [蓝桥杯 2023 省 B] 冶炼金属	主练	整除不等式、上下界与多个条件的交集；第 8 章后已有前置	—
070	P9242 · [蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列	主练	利用小值域设计状态，避免直接枚举所有前驱；第 9 章后做	—
071	P1083 · 借教室	选做	差分＋二分的综合，检查每次判定的重置、大输入与数值范围	—
072	ABC305 D · Sleep Log	选做	二分＋前缀统计，处理查询端点落在区间内部	—

过关标准： 面对陌生题面，先写出数学或状态模型，再选择算法；用未做过的整套真题检验建模、实现与时间分配。

12 · 后续扩展：全部选做 · 8 题

学习目标： 全部选做，每次只补一个真实缺口；KMP、动态区间查询与进阶 DP 不作为开始参赛的条件。

C++ 工具： 按缺口补前缀函数、lowbit、懒标记、区间／树形状态。

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• 按需查阅主线第 17 章资料： KMP 与前缀表。先学前后缀、失配回退；固定一种前缀函数定义，区分不同 next 数组约定。
• 按需查阅主线第 17 章资料： OI Wiki：字典树 · 官网。只读插入、查询、前缀查询；暂不读可持久化 Trie 或异或 Trie。
• 按需查阅主线第 18 章资料： OI Wiki：树状数组 · 官网。只读单点加与前缀和，用 1 到 8 的下标手画覆盖关系。
• 按需查阅主线第 18 章资料： OI Wiki：线段树基础 · 官网。只读建树、区间和、区间加、懒标记；进阶内容按需扩展。

#	题目	投入	训练重点	参考
073	P3375 · KMP	选做 · 共享	前缀函数、重叠匹配、匹配位置与前缀信息输出	对应方法
074	P3374 · 树状数组 1	选做 · 共享	单点加、区间和；先解释静态前缀和的限制与 lowbit	对应方法 · 备用
075	P3368 · 树状数组 2	选做 · 共享	差分与树状数组结合，区间加、单点查；先做 074	对应方法 · 备用
076	P3372 · 线段树 1	选做 · 共享	区间加与区间和、懒标记和 64 位维护	对应方法 · 备用
077	P3383 · 线性筛素数	选做 · 共享	第 k 小素数查询；当前 n=10^8，先估标记和素数表的内存，再写代码	对应方法 · 备用
078	DP N · Slimes	选做 · 共享	区间 DP 与 O(n³) 转移；与 038 比较“必须相邻合并”的影响	对应方法 · 备用
079	DP P · Independent Set	选做 · 共享	树上黑白状态、合并子树方案与取模；先掌握树遍历和基础 DP	对应方法 · 备用
080	P1719 · 最大加权矩形	选做	二维问题降为一维最大子段和，推导 O(n³)，处理全负数	—

过关标准： 选做按实际缺口选择；先能解释状态、适用条件与复杂度，再独立实现和检查边界。

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Codeforces 入门

从完整程序与简单题开始，逐步练习计数、排序、构造与区间应用。具备基础能力后即可尝试整场练习。

章节	内容	题量
01	完整程序与入门桥接	6
02	字符串、计数与排序	6
03	构造、数学观察与区间	6

01 · 完整程序与入门桥接 · 6 题

学习目标： 前两题快速熟悉提交，再练多组输入、字符串和简单排序。完成这 6 题即可尝试入门赛。

C++ 工具： main、cin/cout、string、sort；逐题确认测试组数与输出格式。

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• 本阶段学习要点： Codeforces 官方题库。前两题能独立完成就快过；05、06 前补竞赛补充第 3 章的排序与计数。

#	题目	投入	训练重点	参考
01	CF 4A · Watermelon	快练	熟悉提交与边界	—
02	CF 282A · Bit++	快练	简单字符串读入与操作模拟	—
03	CF 1328A · Divisibility Problem	主练	T 组输入与整数观察	—
04	CF 71A · Way Too Long Words	主练	字符串边界与批量输出	—
05	CF 339A · Helpful Maths	主练	解析、排序／计数与分隔符输出	—
06	CF 160A · Twins	主练	排序贪心与严格不等式	—

过关标准： 能独立读题、提交完整程序并定位基本错误；不必等后两章完成才参赛。

02 · 字符串、计数与排序 · 6 题

学习目标： 把相邻关系、覆盖集合、位置条件和排序后的窗口转成可维护的信息。

C++ 工具： 频次数组、布尔标记、string::substr、map、sort；明确下标和重复计数。

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• 本阶段学习要点： Codeforces 官方题库。衔接竞赛补充第 2–4 章；每道题先自己确定应保留哪些信息。

#	题目	投入	训练重点	参考
07	CF 266A · Stones on the Table	主练	相邻字符关系、连续重复与最少删除次数	—
08	CF 469A · I Wanna Be the Guy	主练	集合覆盖与去重；读入两组不同长度的数据	—
09	CF 1367B · Even Array	主练	区分下标和数值的奇偶性，统计错位并判断能否修复	—
10	CF 977B · Two-gram	主练	长度为 2 的子串计数，允许重叠，输出出现最多的一种	—
11	CF 405A · Gravity Flip	主练	从模拟描述识别排序模型，解释最终状态	—
12	CF 337A · Puzzles	主练	排序后枚举固定长度区间，最小化最大值与最小值之差	—

过关标准： 能区分按位置计数与按值去重，解释排序如何帮助求解，并检查全相同、缺失和边界位置。

03 · 构造、数学观察与区间 · 6 题

学习目标： 先推导必要条件，再验证构造或枚举是否充分；逐步迁移到窗口与二分查询。

C++ 工具： long long、取模和整除、排序、前缀和／滑动窗口、upper_bound。

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• 本阶段学习要点： Codeforces 官方题库。先会基础枚举与排序；最后两题结合竞赛补充第 4–5 章做。卡住可以先参加前段简单题训练。

#	题目	投入	训练重点	参考
13	CF 1343B · Balanced Array	主练	推导可行性条件；构造等和数组并满足正数、互异等约束	—
14	CF 1512B · Almost Rectangle	主练	按两点的位置分类构造矩形，处理同一行／列与多组输入	—
15	CF 1374B · Multiply by 2, divide by 6	主练	从操作推导整数因子的限制，判断可达性并计算最少次数	—
16	CF 1360C · Similar Pairs	主练	奇偶分类与配对条件，解释何时需要利用相差 1 的数对	—
17	CF 363B · Fence	主练	固定长度窗口／前缀和，线性求最小区间和并返回位置	—
18	CF 706B · Interesting drink	主练	排序＋upper_bound 回答多次阈值计数，处理重复值与恰好相等	—

过关标准： 构造题能验证全部条件；能从数据规模发现逐次扫描不可行，并说明窗口或二分为何有效。

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整场练习

选择尚未读过题面和题解的场次，先独立选题、限时实现，再补最接近当前能力的题。做过的场次更适合复盘，不再作为陌生题测试。

场次	使用方式
Codeforces Round 964 · Div. 4	从 A–C 开始；整场 145 分钟，首次练习可略过后段交互题
AtCoder Beginner Contest 350	先尝试 A、B，再看 C；练习时隐藏算法标签

虚拟赛不产生正式 rating。正式比赛的时间、规则与参赛条件以官方公告为准：Codeforces 比赛列表 · AtCoder 比赛列表。

资料与维护

题目、题解与教程链接指向各自的平台和作者；本仓库整理学习顺序与训练重点，不复制完整题面或外部题解。

• 评测平台：LeetCode · AtCoder · 洛谷 · Codeforces
• 基础资料：OI Wiki · Hello 算法
• 题解参考：代码随想录 · Doocs LeetCode · NeetCode

章节内的链接已细化到具体资料。建议先读定义与思路，再按需要阅读代码；外部页面可能包含完整答案。

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