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La matematica classica di Shor si impara giocando, prima di Shor - #24
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Il livello 0·5 porta nella Parte 0 i tre attrezzi che finora arrivavano tutti insieme nel livello più difficile del corso: il resto (mod), il massimo comune divisore e il periodo di a^x mod N. · l'orologio: conti oltre la fine del quadrante e la spirale disegna i giri veri, così «17 mod 7» diventa "due giri e tre passi"; · il pavimento di Euclide: ritagli quadrati finché non avanza niente, e l'ultimo quadrato È il massimo comune divisore; · il ritmo che torna: moltiplichi sempre per lo stesso numero e la passeggiata si chiude in una stella — poi devi dire quanti passi erano. Le frazioni continue chiudono il livello con lo stepper: da 0,3337 a 1/3, cioè da un decimale misurato a un periodo intero. I conti non sono riscritti: gcd e periodOf arrivano dal simulatore, sono le stesse righe che esegue Shor. Il numero del livello di Shor citato nel gioco viene da levels.js, non scritto a mano. Glossario: modulo, MCD e frazioni continue diventano voci vere, e «periodo» ora dice anche cosa significa per a^x mod N. Tre lingue, 13 test nuovi sui conti (resto, piastrelle, basi valide), audit dei testi nel canvas pulito su computer, telefono e orizzontale.
Il livello 0·6 porta le matrici 2×2 nella Parte 0, dove servono: da qui in poi «porta quantistica» vuol dire matrice, e finora la parola arrivava per la prima volta dentro la QFT. · la macchina a quattro manopole: giri i numeri e guardi dove finiscono le due frecce di base — la scoperta è che quei due posti SONO le colonne della matrice, e il quadrato deformato dice che non stai spostando due frecce ma tutto il piano; · il puzzle delle porte: X, Z e H su un qubit, un bersaglio da centrare, e un cerchio da cui la freccia non esce mai. Chi risolve il primo puzzle con H, Z, H scopre da solo che H·Z·H = X — e il gioco non guarda la sequenza scritta a mano, moltiplica davvero le matrici usate. Il cerchio è la lezione: unitaria = non cambia le lunghezze = le probabilità fanno sempre 100%. Lo stepper la srotola in cinque passi e la riaggancia alla reversibilità del livello K·6. Il gioco delle manopole dice a ogni mossa se la macchina che hai costruito sarebbe una porta valida: la stessa funzione che i test controllano. Tre lingue, 12 test nuovi (colonne, prodotto non commutativo, H·Z·H, tutte le sequenze di tre porte restano lunghe 1, puzzle dimostrati risolvibili), glossario: «matrice» è una voce, «unitaria» ora nasce qui.
…tori Il livello 18·b si infila fra la QFT e la stima di fase, che comincia con «dato uno stato che l'operazione lascia uguale a parte una fase»: una frase illeggibile per chi non ha mai visto un autovettore. · la caccia: trascini una freccia, la macchina la trasforma, e per certe direzioni la freccia che esce resta IN LINEA con quella che entra. Quelle direzioni sono gli autovettori, il fattore è l'autovalore. C'è un magnete che aggancia quando ci passi vicino: senza, centrare un angolo a mano sarebbe una lotteria invece di una scoperta; · la rotazione di 90° non ha nessuna direzione ferma, ed è messa lì apposta: è il motivo per cui gli autovalori del quantistico sono fasi e non allungamenti; · la fase che si conta: su un autovettore la porta gira solo la fase, e contare quante applicazioni riportano a casa È misurarla. Lo stepper mostra come la QPE faccia lo stesso conteggio tutto insieme. È lo stesso gioco del ritmo che torna dell'orologio modulare, e la lezione lo dice: là il periodo, qui la fase, e Shor usa entrambi. Un livello superato non si richiude più: `isUnlocked` ora risponde di sì anche quando la mappa cambia sotto i piedi. Serviva proprio qui — inserire un livello in mezzo al percorso sposta il prerequisito di quello dopo, e chi l'aveva già superato se lo ritrovava sbarrato. Tre lingue, 12 test nuovi (autovalori come radici del polinomio, il magnete aggancia solo dove deve, ordini delle fasi), glossario: «autostato» nasce qui e cita anche «autovettore».
… si chiude Il livello 15·b arriva subito prima della DFT e risponde alla domanda che resta in gola guardandola funzionare: perché sulle frequenze sbagliate la somma viene ZERO, e non un numero piccolo qualunque? · i pezzi che si rimpiccioliscono: mezzo, un quarto, un ottavo… il totale sbatte contro un muro, e il muro è 1/(1−r). Il gioco chiede di centrare dei totali muovendo frazione e numero di pezzi; · la catena di frecce: la stessa somma, ma la ragione è una rotazione. O si allineano tutte (ed è il picco) o disegnano un poligono chiuso e la somma è zero esatto. Il disegno che si chiude È la dimostrazione. Lo stepper porta il conto fino in fondo: |sin(NΔ/2)/sin(Δ/2)| è la stessa (1−rⁿ)/(1−r) del primo gioco, scritta con le rotazioni. 10 test nuovi, fra cui la verifica che con passo «un giro diviso n» la somma è sotto 1e−9 per ogni n del gioco e ogni multiplo — cioè che il picco non è un effetto grafico. Tre lingue.
Il livello 21·b sta fra il rumore e l'officina, e dice la cosa che il corso finora aveva taciuto: Grover, Shor e la stima di fase vogliono macchine che oggi non esistono. Quello che gira adesso sull'hardware vero sono i metodi variazionali — e girano su una derivata. · la pendenza: trascini un punto sulla curva, la retta che la tocca si inclina, e dove è piatta ci si ferma. Con la trappola dichiarata: sulla valle doppia la pendenza è zero anche in cima, e i due fondi non sono uguali. È il problema numero uno di questi metodi, non una nota a piè di pagina; · la discesa variazionale: una manopola, un'energia da abbassare, il numero di tiri che si sceglie. Con 50 tiri la pendenza balla e la discesa va a zig-zag; con 5000 è stabile e costa cento volte tanto. L'errore scende come 1/√tiri, ed è il costo vero di ogni algoritmo variazionale. La parte quantistica è dichiarata e verificata: la regola dello spostamento (parameter-shift) dà la pendenza ESATTA valutando la stessa energia con la manopola spostata di un quarto di giro. Il gioco mostra i due numeri affiancati e un test li confronta su tutta la curva, a 1e−12. Il livello dice anche cosa NON si sa fare: sull'hardware di oggi i metodi variazionali non hanno ancora battuto i migliori algoritmi classici sulle stesse molecole. Prometterlo sarebbe stato più comodo e meno vero. Tre lingue, 10 test nuovi (pendenza numerica contro esatta su tutte le curve, minimi e massimi dichiarati verificati, discesa che arriva in fondo da qualunque partenza).
Cinque livelli nuovi hanno un filo comune che vale la pena scrivere: gli attrezzi non sono premesse, arrivano giocati appena prima del punto in cui servono. E il corso adesso copre anche i metodi variazionali, cioè l'unica famiglia che sull'hardware di oggi gira per davvero.
Il livello 0·7 chiude un buco che il corso aveva a monte: si ricava un numero da una formula in continuazione — «con n bit scegli fra 2ⁿ», «α² + β² = 1», «θ = 2πk/N» — dando per scontato che chi legge sappia girarla. Chi non lo sa non si blocca sul quantistico: si blocca su un passaggio di seconda media e crede di non capire la fisica. · la bilancia: due piatti, e mosse che si fanno sempre su tutti e due. La barra non si inclina mai, e la riga «la x vale…» non cambia mai: sono le due cose che dicono che risolvere non trova la x, la mette in mostra; · la macchina dei numeri: entra un numero, ne esce un altro, e la domanda vera è se si può risalire. Per le macchine senza ritorno il gioco DISEGNA lo scontro — 3 e −3 che finiscono tutti e due su 9 — perché quella è la dimostrazione, non un'opinione. Il quarto passo chiude la catena con la formula esplorabile: probabilità = ampiezza², somma 1, freccia sempre lunga 1, quindi la porta si può invertire. È la stessa frase che K·6 dice dal lato dell'informazione e il livello delle matrici dal lato della geometria. Le formule inverse sono srotolate una per una, con i conti fatti: da N = 2ⁿ a n = log₂N (che apre il livello successivo), da α² + β² = 1 a β = √(1−α²) con α = 0,6 → β = 0,8 verificato. Tre lingue, 8 test nuovi: ogni mossa della bilancia lascia la soluzione dov'era (dieci di fila per mossa, su ogni equazione), ogni equazione si chiude con i bottoni offerti, e ogni macchina «senza ritorno» esibisce due ingressi diversi con la stessa uscita.
Il livello 0·8 sistema la frase su cui il corso poggia il vantaggio quantistico — «Shor è polinomiale nel NUMERO DI CIFRE di N» — che senza logaritmi si legge senza vederla: il numero di cifre È il logaritmo, quindi quella frase dice «polinomiale in log N», che è un altro pianeta rispetto a «polinomiale in N». · quanti interruttori servono: scegli 26 lettere o 365 giorni e cerchi il minimo che basta. Lo scalino si vede — 9 bit coprono 512 e non bastano, 10 coprono 1024 e bastano — ed è per questo che si arrotonda in su; · quante volte posso dimezzare: le barre si accorciano fino a 1, poi devi dire quanti tagli sono stati. Ed è lo stesso numero del primo gioco. Che i due giochi diano lo stesso numero non è una frase: è un test, su tutti i numeri fino a diecimila. Lo stepper porta il conto fino in fondo: perché √N tentativi su un numero da 600 cifre sono più degli atomi dell'universo, perché la misura giusta del problema è quanto è lungo da scrivere, e dove sta Grover (quadratico, non esponenziale) rispetto a Shor. Tre lingue, 10 test nuovi.
Nel livello dei due qubit le due missioni si chiamavano tutte e due «bell». Il progresso è salvato come «livello/chiave», quindi completandone una si segnavano fatte tutte e due: la prova di padronanza scriveva «missioni completate: 2/2» mentre il secondo riquadro restava grigio, e chi giocava non aveva modo di sapere cosa gli mancasse — né che in realtà non gli mancasse niente. Chiave propria alla seconda («stato-bell»), in tutte e tre le lingue. E perché non ricapiti, due controlli nel validatore: · dentro un livello le chiavi delle missioni devono essere diverse; · fra una lingua e l'altra devono essere identiche e nello stesso ordine, perché il progresso vive sull'id del livello e sulla chiave: una chiave tradotta per sbaglio azzererebbe quella missione a chi cambia lingua. Il primo controllo, rimesso il difetto, lo trova.
Livello 0·9. Il simbolo più frequente della letteratura quantistica non è un geroglifico: è un numero che dice quanto due frecce vanno nella stessa direzione. Da lì escono lunghezza, distanza, ampiezza e probabilità — che sono lo stesso conto guardato da quattro lati. · due frecce da trascinare e un numero solo: cerca lo zero, e lo zero sono i 90°. Il gioco mostra le due formule affiancate (coordinate e coseno) e il fatto che danno sempre lo stesso numero; · la misura è un'ombra: uno stato lungo 1, una base che si gira, e le due ombre con i loro quadrati. La somma non si muove mai — perché è Pitagora. «Le probabilità fanno 100%» smette di essere una regola imposta. Il test lo verifica su 33 stati per 14 basi: i quadrati delle ombre fanno 1 a meno di 1e−12. E un passo di storia dove mancava, in tre lingue: Cayley 1858 e il prodotto definito perché sia la composizione (con Heisenberg che nel 1925 riscopre le matrici senza saperlo, e Born che le riconosce); Napier 1614 e i logaritmi nati per non sbagliare le moltiplicazioni degli astronomi; Zenone e Archimede per la serie geometrica; «eigen» come «proprio» e Schrödinger 1926, che intitola i suoi lavori «la quantizzazione come problema agli autovalori»; il principio variazionale di Rayleigh-Ritz che garantisce E ≥ E₀, e le date del VQE e del QAOA.
…rielle Il livello 0·7b costruisce la formula risolutiva invece di farla imparare: un cortile quadrato di lato x, dieci nani che si dividono in due file da cinque (il b/2), e la mattonella che avanza nell'angolo (il (b/2)²). Da lì la formula esce con le stesse mosse, scritte con le lettere, e il delta si scopre per quello che è: l'area della mattonella meno quello che c'era già. Prima però la regola, perché l'esempio divertente non è gratis. Sezione 20 del metodo, in tre lingue, con le fonti: lo humour legato al contenuto aiuta (Banas e colleghi, 2011), quello decorativo danneggia — e più sul trasferimento che sul ricordo (Harp & Mayer 1998; Rey 2012; Sundararajan & Adesope 2020). Il keyword method (Pressley, Levin & Delaney 1982) aggiunge che conta l'immagine chiara, non quella bizzarra. Quindi: la storiella è ammessa solo se È la matematica, e se togliendola non si perde un passaggio va tolta. I nani reggono un passo che altrimenti si manda a memoria, e tornano nel gioco e in due domande del quiz. In fondo la storia vera: al-jabr e Algoritmi dal 820, «un quadrato e dieci radici uguali a trentanove», e il delta negativo che non era un vicolo cieco ma la porta da cui — passando per le equazioni di terzo grado, Cardano 1545 e Bombelli 1572 — sono entrati i numeri complessi. Chiude il cerchio con il livello 18·b: λ² − traccia·λ + determinante = 0 è di secondo grado, e il suo delta dice se una porta ha direzioni ferme o solo fasi che girano. Verificato invece che affermato: i test controllano che il disegno di al-Khwārizmī dia ESATTAMENTE le stesse soluzioni della formula su tutta una griglia di (b,c), casi impossibili compresi. Un difetto vero è saltato fuori lì: la radice doppia veniva contata due volte. Due correzioni dal browser: sul telefono la colonna dei conti strozzava il disegno a 140 px, ora il disegno prende tutta la larghezza e i conti stanno nel riquadro sotto; su schermo largo il blocco è centrato. E il metodo diceva che i mini-giochi della Parte 0 non portano etichetta classico/ quantistico: non era più vero, ora dice dove l'etichetta compare e perché il quadrato di al-Khwārizmī non ne ha una. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
…non esiste Nasce la Parte M — «la matematica delle superiori e dell'università»: facoltativa come la Parte 0 e la K, fuori dalla catena dei prerequisiti, e dichiarata per quello che è nel sottotitolo — non è obbligatoria, ma chi la fa capisce il resto molto meglio. Dentro ci andranno i pezzi dalla prima superiore ad Analisi 2 che questo corso usa davvero, sempre con la curiosità attaccata: perché quella formula è fatta così, da quale problema è nata. Il primo livello, M·1, è il seguito naturale dello 0·7b. Là la formula del secondo grado usciva da un disegno; qui si risponde alla domanda rimasta aperta — e per il terzo grado? e per il quinto? Due giochi per gli attrezzi: · I SOSPETTATI. Le radici intere si nascondono solo fra i divisori del termine noto, e il motivo è una riga di conto: raccogliendo r da tutti i termini con la x, resta il termine noto da spartire. Da infiniti candidati a otto. Chi ha l'alibi mostra il resto che lo scagiona; il colpevole viene sfilato e il grado cala. Il terzo polinomio si ferma su x² + 1, che è esattamente il delta negativo del livello 0·7b. · LA STAFFETTA. Ruffini come corsa a testimone: ogni coefficiente riceve, moltiplica per r, passa avanti. Se il resto è zero hai diviso; se non lo è hai calcolato P(r). E l'hai fatto con tre moltiplicazioni invece di nove: è lo schema di Horner, quello che sta nelle librerie matematiche. Poi la storia, che è la parte che vale il livello: del Ferro che tiene segreta la cubica perché la cattedra si difendeva a sfide pubbliche, Tartaglia e il giuramento tradito da Cardano nel 1545, Ferrari col quarto grado — e poi due secoli e mezzo di silenzio, Ruffini 1799 con 500 pagine che nessuno legge, Abel che nel 1824 le comprime in sei per pagarsi la stampa e muore a 26 anni, Galois che spiega il PERCHÉ la notte prima di un duello e muore a 20. Da lì i gruppi, che torneranno fra le porte. E il pagamento in contanti per il corso: il polinomio caratteristico di una matrice n×n ha grado n, quindi da 5 in su per Abel–Ruffini gli autovalori non hanno formula. Non «non l'abbiamo trovata»: non esiste. Ecco perché la stima di fase, che l'autovalore lo MISURA, è una notizia — e perché la DFT è calcolare un polinomio nelle radici dell'unità, con la FFT che è il «dividi a metà» applicato alla staffetta. Un difetto vero trovato guardando lo schermo: t() sostituisce i segnaposto uno per uno, quindi «:p» dentro una frase che contiene anche «:prec» si mangia il secondo e a video si leggeva «riceve −6rec». Rinominati, e messo un controllo nel validatore perché non ricapiti: dentro una stessa frase nessun segnaposto può essere prefisso di un altro. Il controllo ha subito pescato un secondo caso, latente, in coppie.js — lì funzionava solo per l'ordine in cui erano scritti i parametri, cioè per fortuna. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
…otazione Secondo livello della Parte M. Al livello 0·3 seno e coseno erano due ombre; qui si impara l'unica cosa che serve saperci fare davvero — girare due volte — e da lì escono tre cose in fila. L'identità fondamentale non è una formula da studiare: è Pitagora scritto sul cerchio di raggio 1, ed è la stessa riga che al livello 0·9 si chiama «le probabilità fanno 100%». Un qubit, visto così, è un punto su un cerchio. Le formule di addizione non si imparano: si ricavano. Al livello 0·6 una rotazione è una matrice, fare due cose è moltiplicare, e girare di a poi di b è girare di a+b — quindi R(b)·R(a) = R(a+b). Svolto il prodotto riga per colonna, nelle caselle compare già cos a cos b − sin a sin b. La formula è quel prodotto letto ad alta voce, segno meno compreso (viene dal −sin a, che c'è perché girando la seconda freccia va indietro). La duplicazione è lo stesso conto con b = a: non una formula in più. Poi il pagamento. Il secondo gioco mostra Grover come quello che è: una freccia che parte a θ = arcsin√(1/N) dall'asse delle risposte sbagliate e che ogni giro ruota di 2θ, con probabilità sin² dell'angolo. Da lì cadono in posto tutte insieme tre cose che al livello 11 si accettano e basta: perché continuare a girare PEGGIORA (oltre i 90° il seno riscende), da dove esce il √N (è 90° diviso 2θ, cioè π/4·√N: una divisione fra angoli, non una stima), e perché proprio 2θ (un giro sono due specchiate, e due specchiate di fila sono una rotazione del doppio dell'angolo fra gli specchi — la duplicazione di due passi prima). La storia, che stavolta è anche una figuraccia: Ipparco e la prima tavola di corde nel 150 a.C., Tolomeo che ricava la formula di addizione da un quadrilatero inscritto, e poi la parola «seno» — sanscrito jyā, «corda dell'arco», traslitterato in arabo come jiba, scritto senza vocali jb, e riletto nel XII secolo come jaib, «insenatura», tradotto in latino sinus. La parola più usata della trigonometria significa «insenatura» per un testo senza vocali letto male. In coda la prostaferesi: prima dei logaritmi si usavano queste stesse formule per trasformare le moltiplicazioni in somme, all'osservatorio di Tycho Brahe. I test controllano che formula e giro diretto coincidano su tutta una griglia di 145×145 angoli, che la duplicazione sia davvero il caso b = a, e i conti di Grover al numero: su N = 4 un giro solo porta esattamente al 100%, la probabilità di partenza è esattamente 1/N, il numero di giri consigliato è quello che centra meglio i 90° (verificato contro k−1 e k+1), oltre l'ottimo la probabilità scende, e passando da 16 a 256 risposte i giri quadruplicano invece di moltiplicarsi per 16. Una correzione dal browser: la freccia oltre i 90° usciva dal bordo sinistro — proprio il caso che il livello vuole far vedere. Ora il disegno tiene il margine per arrivare a 125° e l'arco oltre i 90° è tratteggiato in rosa: la zona in cui si peggiora si vede prima di entrarci. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
…'unità Terzo livello della Parte M, ed è quello che rende leggibile tutta la seconda metà del corso. Parte da una domanda che di solito nessuno fa: che cosa vuol dire, GEOMETRICAMENTE, moltiplicare due frecce? Sommarle si vede; moltiplicarle sembra solo una parentesi da svolgere. Il primo gioco fa scoprire la regola da soli — le lunghezze si moltiplicano, gli angoli si sommano — e poi mostra da dove viene: svolgendo (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) compaiono parola per parola le formule di addizione del livello M·2. Il prodotto È la freccia a a+b gradi, non poteva essere altro. E lì i² = −1 smette di essere un assioma da accettare: i è la freccia a 90°, moltiplicare per i è un quarto di giro, farlo due volte è mezzo giro. Poi il passaggio che di solito viene calato dall'alto. Le frecce di lunghezza 1 sommano gli angoli quando si moltiplicano; l'unica operazione che si comporta così è l'esponenziale (x^a · x^b = x^(a+b)); un esponente reale farebbe crescere la lunghezza, e la lunghezza qui resta 1; quindi l'esponente è immaginario. Da cui e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Il passo è dichiarato per quello che è — un argomento di plausibilità, non una dimostrazione — e la dimostrazione vera è rimandata al livello sulle serie di Taylor. In coda e^(iπ) + 1 = 0 come «mezzo giro ti porta dall'altra parte». Il secondo gioco costruisce le radici n-esime dell'unità e poi le somma punta contro coda: il poligono si chiude sullo zero. Quello zero non è una curiosità, è il motore della trasformata di Fourier — sono le stesse frecce con cui la DFT pesa i campioni, e la loro somma nulla è il motivo per cui le frequenze sbagliate si cancellano e resta il picco. La storia: trecento anni per fare un disegno. Cardano e Bombelli li usano senza saperli spiegare, Descartes nel 1637 li chiama «immaginari» come insulto, Leibniz «un anfibio fra l'essere e il non essere», Euler nel 1748 pubblica la formula ma non ha ancora un'immagine per dire dove stanno. Il piano arriva solo fra il 1799 e il 1831, e ci arrivano separatamente un agrimensore norvegese (Wessel, ignorato per un secolo), un contabile parigino (Argand) e Gauss. Che scrive la frase giusta: l'oscurità era colpa di una terminologia mal scelta, e se si fosse detto «diretta, inversa e laterale» invece di «positiva, negativa e immaginaria», di quell'oscurità non si sarebbe potuto parlare. Chiamare «immaginario» un quarto di giro ha rallentato la matematica di due secoli. I test: prodotto e forma polare su tutta una griglia (lunghezze che si moltiplicano, angoli che si sommano a meno di 1e-7), il prodotto svolto in coordinate confrontato con cos(a+b) e sin(a+b) a 1e-12, i² = −1 dalla sola geometria, ogni radice elevata alla n che dà 1, le radici equidistanti e distinte, la somma nulla per ogni n da 2 a 64, la somma PARZIALE che invece non è mai nulla (è il motivo per cui la DFT deve sommare su tutti i campioni), e la chiusura per prodotto — il fatto che al livello sui gruppi diventerà «formano un gruppo». Tre correzioni dal browser: la scala del primo gioco era fissa e su telefono le frecce diventavano francobolli (ora si adatta a quello che c'è da vedere, col cerchio di raggio 1 sempre disegnato come metro); il conto in coordinate su una riga sola veniva troncato coi puntini, e un conto troncato non è un conto (ora sta su due righe); le etichette ω^k finivano addosso alla riga della somma. Più i «−0.000», che sono zeri col segno. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Quarto livello della Parte M. La parola «base» gira per tutto il corso — base di misura, base computazionale, cambio di base — e finora si è capita a intuito. Qui diventa una cosa che si tocca con due cursori. Si parte da una definizione senza assiomi: uno spazio vettoriale è un posto pieno di oggetti che sai solo sommare e allungare. Una tabella mostra che la stessa struttura vale per frecce, liste di numeri, onde e — ultima riga, che è il motivo del livello — stati quantistici. La sovrapposizione non è un fenomeno esotico da accettare: è la SOMMA di uno spazio vettoriale. Il primo gioco dà due frecce e due cursori e chiede dove si riesce ad arrivare. Con due frecce non in linea: dappertutto, e in un modo solo. Con due in linea: mai fuori da una retta, e il gioco lo dice invece di lasciar insistere — il muro è voluto, ed è il modo più rapido di capire cosa vuol dire «indipendenti». Cambiando base si vede anche l'altra metà: lo stesso punto ha coordinate diverse, ma il punto non si muove. Il secondo gioco chiede QUANTE, non quali: si accendono e spengono frecce finché non si copre il piano col numero minimo. Il risultato è sempre due, qualunque collezione. Quel numero è la dimensione, e non dipende dalla base: è una proprietà dello spazio, non della scelta. Poi i due pagamenti. In una base ortonormale le coordinate sono i prodotti scalari, cioè le ombre del livello 0·9: da lì lo stepper porta ad α|0⟩+β|1⟩ come combinazione lineare, alle probabilità come ombre al quadrato (Born), e a |+⟩/|−⟩ come un'altra base ortonormale dello stesso spazio — per arrivare alla frase che chiude il cerchio: misurare in una base diversa non cambia lo stato, cambia la domanda. E il conto che decide tutto: n qubit vivono in dimensione 2^n, non 2n, con la tabella della memoria che serve fino a 300 qubit («più degli atomi dell'universo osservabile»), e l'avvertenza contro il malinteso più diffuso — 2^n ampiezze non vuol dire 2^n risposte leggibili. La storia: Grassmann pubblica nel 1844 quasi tutta l'algebra lineare moderna e viene ignorato perché è un professore di liceo e scrive in modo illeggibile. Deluso, molla la matematica e si mette a studiare sanscrito: il suo dizionario del Rigveda è ancora in uso, e la laurea honoris causa la prende per linguistica. Peano nel 1888 ci mette dentro la prima definizione assiomatica di spazio vettoriale, e von Neumann nel 1932 riscrive la meccanica quantistica come geometria in quello spazio. I test controllano che con una base vera si ricostruisca qualunque bersaglio su una griglia di 625 punti, che i bersagli del gioco stiano dentro la corsa dei cursori, che con la base finta si resti SEMPRE sulla retta y = x (e che nessun bersaglio ci stia sopra: il muro non è aggirabile per caso), che su base ortonormale prodotto scalare e conto generale coincidano — e che su una base storta invece divergano, così la scorciatoia non viene insegnata come universale. Più Pitagora sulle coordinate e 2^n che raddoppia. Una correzione dal browser: nel piede del secondo gioco un segnaposto di numero-livello produceva «simulare 1 qubit su un computer normale diventa impossibile», che è il contrario di quello che il livello dice. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Quinto livello della Parte M, ed è quello che scioglie tre parole che nei libri si trovano a ogni pagina: unitario, hermitiano, proiettore. Si parte dall'aggiunto, ma spiegato per quello che è: non «la ricetta per ribaltarla» ma la proprietà ⟨Mv, w⟩ = ⟨v, M†w⟩ — l'unica cosa che sopravvive quando i numeri diventano complessi. La semplificazione (qui si lavora nel reale, quindi aggiunto = ribaltata) è dichiarata in testa al file e nella lezione, coi nomi che il caso reale porta davvero: ortogonale e simmetrica. Il primo gioco dà quattro manopole e tre etichette che si accendono da sole, con un mazzo di frecce di lunghezza 1 disposte in cerchio: se la macchina è unitaria il cerchio resta un cerchio, se no si deforma. Da lì tre scoperte: la rotazione ha delta negativo e quindi nessuna direzione ferma (è il caso «impossibile» del livello 0·7b, e da lì le fasi complesse); il proiettore schiaccia e non si può disfare; e X, Z, H sono unitarie E hermitiane insieme — cioè specchiate, autovalori +1 e −1, e applicate due volte non fanno niente. Ecco perché in un circuito quella coppia si cancella. Poi i due «perché deve». Una porta deve essere unitaria per due motivi indipendenti che portano allo stesso vincolo: le probabilità devono restare 100% e la fisica sotto è reversibile — e l'inversa di una unitaria è il suo aggiunto. Un'osservabile deve essere hermitiana perché il numero che leggi su uno strumento è reale, e le hermitiane sono esattamente quelle che hanno autovalori reali garantiti; con in più autovettori perpendicolari, cioè una base di misura. Da cui la definizione onesta di osservabile — un insieme di direzioni perpendicolari con un numero reale su ciascuna — e l'origine geometrica dell'indeterminazione: due osservabili con basi diverse fanno due domande che non si possono porre nella stessa lingua. Il secondo gioco fa il collasso: misuri, esce a caso con le probabilità date dalle ombre al quadrato, poi rimisuri e non cambia più niente. Perché non è un postulato in più: è P·P = P, con i numeri scritti sotto. E i due proiettori perpendicolari sommati fanno l'identità, cioè «le probabilità fanno 100%». La storia è Charles Hermite, che dimostra nel 1855 la realtà degli autovalori settant'anni prima che serva per un atomo — e che era uno studente disastroso agli esami: entrato al Polytechnique quasi ultimo, mandato via dopo un anno perché la gamba destra gli impediva il brevetto militare, uscito senza titolo. Poi dimostra che e è trascendente e finisce professore in quella stessa scuola. In coda il dizionario di von Neumann (1932), che è esatto e non approssimativo: stato = vettore, porta = unitario, osservabile = hermitiano, valore letto = autovalore, misura = proiettore. I test controllano che le unitarie non cambino NESSUNA lunghezza (su 360 angoli, a 1e-12) e nemmeno gli angoli, che le non-unitarie invece la cambino davvero, che il prodotto di due unitarie sia unitario, che duemila matrici simmetriche a caso abbiano sempre delta non negativo, che gli autovalori trovati annullino il polinomio caratteristico, che X/Z/H al quadrato diano l'identità con autovalori ±1, che i proiettori siano idempotenti e hermitiani ma NON unitari, che due proiettori perpendicolari sommino all'identità, e che le probabilità sommino a 1 e non dipendano dalla lunghezza dello stato. Un difetto trovato guardando lo schermo: caricando una macchina pronta i cursori restavano fermi sui numeri di prima — la matrice era H ma i cursori dicevano identità, e il primo tocco l'avrebbe riportata indietro senza dire niente. Il metodo per riallineare un cursore non era quello che avevo usato. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Sesto livello della Parte M. Il livello M·4 diceva CHE n qubit vivono in dimensione 2^n; qui si vede COME, e da lì cade in mano la definizione della parola più maltrattata della fisica. Il primo gioco mostra l'operazione: due qubit, quattro ampiezze, ognuna un prodotto. Le dimensioni non si sommano, si moltiplicano — ed è il meccanismo che genera il 2^n. In fondo alla tela c'è una riga verde che resta zero comunque si muovano i cursori: a00·a11 − a01·a10. È lo stesso «incrocio» che al livello M·4 diceva se due frecce erano indipendenti; qui dirà un'altra cosa, e sarà quella che conta. Poi la domanda che rovescia tutto, posta prima di rispondere: TUTTE le quaterne di ampiezze si ottengono così? Il conto dei gradi di libertà dice di no — due angoli non possono coprire tre parametri — e quindi devono esistere stati che non si scrivono come prodotto. Il secondo gioco ne dà quattro da classificare: due si separano davvero (e i cursori bastano), due no, e c'è un bottone per dichiararlo. Il muro è un muro, e il gioco lo dice invece di lasciar girare a vuoto. La dimostrazione poi si fa per intero, in quattro passi che si possono seguire: se lo stato di Bell fosse un prodotto servirebbero tutti e quattro i numeri diversi da zero (dalle ampiezze di |00⟩ e |11⟩) e insieme a0·b1 = 0 (dall'ampiezza di |01⟩). Contraddizione. Da cui la definizione portabile: entangled non vuol dire «i due qubit comunicano», vuol dire che lo stato della coppia non si spezza in uno stato del primo e uno del secondo — e la conseguenza «misuro qui e so cosa esce là» diventa quasi ovvia, perché non c'era mai stata una descrizione separata da avvisare. Chiude con chi l'entanglement lo fabbrica: non due porte separate (il loro effetto è un prodotto tensoriale e manda separabili in separabili, verificato su centinaia di combinazioni), ma una porta che tratta i due qubit insieme. La ricetta del livello 4 si legge finalmente tutta, incluso il passaggio che di solito sfugge: la sovrapposizione da sola non basta, su |0⟩⊗|0⟩ la CNOT non fa niente. La storia sta tutta nel 1935: EPR in primavera, e pochi mesi dopo la risposta di Schrödinger — lo stesso lavoro del gatto — in cui conia Verschränkung e se lo autotraduce in entanglement, chiamandolo non «un» tratto ma «il» tratto caratteristico della meccanica quantistica. Poi Bell nel 1964 che trasforma la disputa filosofica in una disuguaglianza misurabile, e il Nobel 2022. In coda la parola «tensore», che viene dalle tensioni dentro un pezzo di metallo (Voigt) e dal calcolo differenziale assoluto di Ricci-Curbastro e Levi-Civita: costruito per la geometria, usato da Einstein per la relatività e dai quantisti per incollare registri. I test: il prodotto tensoriale ha incrocio zero su tutta una griglia di 120×120 coppie di angoli; lo stato di Bell ha concorrenza 1 e la distanza minima da QUALUNQUE prodotto è √(2−√2) ≈ 0,765, verificata esaurendo 720×720 combinazioni — così la promessa del gioco non è una speranza; la fattorizzazione ricostruisce lo stato su mille prodotti a caso; la CNOT non è un prodotto tensoriale di nessuna coppia di porte; e due porte separate non creano entanglement per quanto si insista. Un difetto trovato dai test: la prima versione di fattorizza sbagliava i segni quando il primo qubit aveva coseno negativo. Riscritta leggendo la riga più lunga dello stato — che È il secondo qubit, segno compreso — e ricavando il primo con due prodotti scalari. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Settimo livello della Parte M, e il primo che va a chiudere due conti che il corso finora aveva chiesto di prendere per buoni. Il primo è «l'errore su una media scende come 1/√tiri», la riga che al livello 21·b decide quanto costa un algoritmo variazionale. Nel gioco si tira una moneta truccata e si guarda la media assestarsi: per dimezzare l'errore servono quattro volte i tiri, per un decimale in più cento volte le misure. Non è un difetto delle macchine di oggi. Il secondo è il 75% della sfida delle buste del livello 4. Qui non è una stima: le strategie classiche possibili sono sedici, si contano, e il test le enumera tutte invece di campionarle — otto vincono il 75%, otto il 25%, e nessuna va oltre. Poi si passa alla coppia entangled e si arriva a cos²(22,5°) ≈ 85,4%. Anche il limite di Tsirelson è verificato spazzando la griglia degli angoli: se il gioco lasciasse arrivare al 100% starebbe insegnando che l'entanglement fa comunicare. Dentro c'è anche Bayes — il test quasi perfetto su una cosa rara — e la storia di John Bell che scrive il suo articolo del 1964 nel tempo libero, fino al Nobel del 2022. Il gioco parte da una posizione perdente in tutte e due le macchine: il 75% classico e gli angoli ottimali vanno trovati da chi gioca, non si trovano già fatti. Le scritte dei mini-giochi sono state accorciate perché sul telefono finivano nei puntini proprio sulla parola che contava. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
… di Bernoulli Ottavo livello della Parte M. «Tende a» era la parola più usata del corso e l'unica mai definita; qui diventa un gioco a due giocatori — io stringo il corridoio ±ε, tu trovi la N da cui in poi la successione non esce più. Che è la definizione di Weierstrass, e non le somiglia: la N per 1/√n viene esattamente il numero di tiri del livello M·7, e i test importano quella funzione da lì invece di riscriverla, così se un giorno i due conti divergono il collaudo se ne accorge. Il gioco costringe a scoprire la velocità di convergenza da solo: con il corridoio a 0,01, 1/√n chiede diecimila termini e non entra nel grafico, mentre 1 + 1/2ⁿ ne chiede sette. E fra le successive ce n'è una che non converge affatto ed è la probabilità di Grover su sedici caselle: sale, sfiora 1 al terzo giro e ridiscende a quasi zero. Adesso c'è la parola giusta per dire perché insistere peggiora. Il secondo gioco è la banca di Bernoulli del 1683 — l'interesse del 100% spezzato in n rate — con un interruttore che passa a un interesse IMMAGINARIO. Lì il capitale non cresce: gira, e con infinite rate finisce esattamente su (cos θ, sin θ). È la dimostrazione di e^(iθ) = cos θ + i·sin θ, che ai livelli 14 e M·3 era stata solo promessa come somiglianza. Lo stesso limite, con una matrice al posto di iθ, è la decomposizione di Trotter: il gioco fa notare da solo che un giro più largo chiede più rate, cioè il costo di simulare più tempo. I test verificano tutto quello che il livello afferma invece di asserirlo: che le successioni dichiarate convergenti convergono e le altre continuano a scappare anche dopo migliaia di termini, che (1+1/n)ⁿ sale sempre e resta sotto e, che l'errore si dimezza al raddoppiare delle rate, e che mezzo giro immaginario dà −1. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Nono livello della Parte M, e la seconda metà dell'analisi dopo la derivata del livello 21·b. Il primo gioco copre la curva di rettangoli e lascia scegliere dove tagliarli: al bordo o al punto di mezzo. Sembra un dettaglio ed è la differenza fra un errore che scende come 1/n e uno che scende come 1/n² — su x², per stare sotto lo 0,001, servono 500 rettangoli tagliati al bordo e 10 tagliati a metà. Nei test l'esponente non è raccontato: si raddoppiano i rettangoli e si controlla per quanto viene diviso l'errore, su tre funzioni. Il secondo gioco è il teorema fondamentale, guardato con un tachimetro e un contachilometri messi uno sopra l'altro: si sposta il cursore e l'altezza della curva di sopra è la pendenza della tangente di sotto, in ogni punto. È la stessa cosa detta in due modi, ed è il motivo per cui un'area si calcola senza contare un rettangolo. Dentro ci sono anche due aree che il corso già usava senza saperlo: l'area sotto 1/x da 1 a t è ln t (verificato su cento valori, e vale 1 esattamente in e — ecco perché quella base si chiama naturale), e la curva 2·sin²(πx), che è |ψ|² della particella nella scatola, ha area esattamente 1. Quel 2 davanti non è decorativo: è la normalizzazione, cioè «la probabilità totale fa 1» scritta per una cosa continua. La storia va da Archimede a Riemann passando per Cavalieri e per il 29 ottobre 1675, il giorno in cui Leibniz scrive per la prima volta ∫ — che non è un ghirigoro ma una S di summa, e da 350 anni ricorda che un integrale è una somma. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
…'approssimazione Decimo livello della Parte M. Un computer non sa calcolare il seno: fa una somma, e quella somma è una serie di Taylor. Il primo gioco fa inseguire alla curva gialla quella azzurra alzando il grado, e mostra il fatto che le formule nascondono: il polinomio parte incollato in zero e si stacca allontanandosi, quindi la domanda utile non è «la serie converge» ma «a che distanza, e con quanti termini». Sul seno da −7 a 7, per stare sotto lo 0,01, serve il grado 19. C'è anche un muro da toccare: la serie di 1/(1−x) funziona solo dentro |x| < 1, e fuori aggiungere termini peggiora. I test lo verificano nel modo più diretto — fuori dal raggio l'errore deve CRESCERE col grado. Poi la formula di Eulero letta sul foglio, che è la dimostrazione che fece davvero Eulero nel 1748: si mette ix nella serie dell'esponenziale, i termini pari restano reali e fanno cos x, i dispari diventano immaginari e fanno i·sin x. Il test non si accontenta del totale: controlla che la metà pari coincida termine per termine con la serie del coseno. È la seconda dimostrazione della stessa formula — la prima, per limite, sta al livello M·8. E infine il pezzo che vale il livello: il √N di Grover. L'angolo è arcsin(√(1/N)), la sua serie comincia con 1/√N, e da lì — e solo da lì — escono i (π/4)·√N giri. Il vantaggio quantistico più famoso del corso è una serie troncata al primo termine. Il gioco lascia allungare e accorciare la lista per vedere l'approssimazione tenere e cedere, e i test confrontano la formula con il numero di giri che davvero porta più in alto la probabilità su duemila lunghezze di lista: coincidono quasi sempre, sbagliano una dozzina di volte, e sempre di un giro solo. La storia parte da Mādhava di Sangamagrāma, che in Kerala intorno al 1400 scrive le serie di seno, coseno e arcotangente — due secoli e mezzo prima che Newton le ritrovasse, e trecento prima che prendessero il nome di qualcun altro. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Undicesimo livello della Parte M, e serve a rendere ovvia una frase che il corso ripete dal livello 1 senza mai spiegarla: «lo stesso stato è casuale se lo misuri in un modo e certo se lo misuri in un altro». Il primo gioco mette una freccia e un righello che si può girare. La freccia non si muove: cambiano i due numeri con cui la descrivi, e cambiano le probabilità, che sono i loro quadrati. Da lì «casuale» smette di essere una proprietà dello stato e diventa il rapporto fra lo stato e la domanda che gli fai — e la porta di Hadamard si può smontare: è la macchina che riscrive uno stato nel righello a 45°. I test lo verificano nel modo diretto, cioè che i due numeri che H tira fuori, al quadrato, siano le probabilità calcolate per proiezione. Su ogni stato. Il secondo gioco chiede di trovare la base in cui una matrice diventa diagonale, girando il righello finché i numeri fuori dalla diagonale si azzerano e le due frecce escono dritte invece che storte. Quelle direzioni sono gli autovettori del livello 18·b: lì erano stati trovati, qui si vede a cosa servono. In quella base applicare la macchina mille volte vuol dire elevare due numeri, non moltiplicare mille matrici — ed è la scorciatoia su cui stanno in piedi la stima di fase e Shor. I test confrontano A alla trentesima calcolato per forza bruta e con la scorciatoia, e controllano che traccia e determinante non cambino mai al cambiare del righello. La storia è quella di due teorie che sembravano non avere niente in comune — le tabelle di Heisenberg del 1925 e le onde di Schrödinger del 1926 — e che erano la stessa teoria scritta in due basi diverse: la dell'energia e quella della posizione. E il secondo gioco, girare gli assi finché la matrice si pulisce, è una rotazione di Jacobi: pubblicata nel 1846, rimasta inutile per un secolo perché a mano era una tortura. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
…ione Dodicesimo livello della Parte M, e il punto in cui la parte si chiude su sé stessa: non introduce quasi niente di nuovo, incastra pezzi già costruiti. e^(matrice) è la serie del livello M·10 con una tabella dentro, e il primo gioco la fa vedere costruirsi termine dopo termine fino a cadere sul cerchio bersaglio — col generatore «gira» la serie sta letteralmente ricostruendo seno e coseno. Poi si scopre che nessuno la calcola così: nella base degli autovettori del livello M·11 è solo e^(autovalore) su ciascuna direzione. Nel riquadro compare anche det(e^M) = e^(traccia), che lega le due quantità che M·11 aveva appena dichiarato indipendenti dal righello. Il secondo pezzo è l'equazione di Schrödinger riconosciuta per quello che è: la stessa forma dell'interesse composto del livello M·8 — «la velocità di cambiamento è proporzionale a quello che c'è» — con l'interesse immaginario. Ed è per questo che uno stato quantistico gira invece di crescere, e le probabilità continuano a fare 1. Il terzo è Trotter. Quando l'energia è fatta di pezzi che non commutano non si può scrivere e^(A+B) = e^A·e^B, ma si può spezzare il tempo. Il gioco disegna il cammino a zig-zag che si avvicina al bersaglio, e i test misurano le due cose che decidono il costo di una simulazione: l'errore scende come 1/n, e i pezzetti che servono crescono in proporzione al tempo da simulare — 94 a tempo ×1, 348 a tempo ×3. Ogni pezzetto è un gruppo di porte da eseguire, quindi quello è il prezzo. I test controllano anche le identità che reggono tutto: la serie e la forma chiusa danno lo stesso risultato, e^M·e^(−M) è l'identità, un generatore antisimmetrico conserva le lunghezze, e se i due pezzi commutano un pezzetto solo basta. La storia è Feynman al MIT nel maggio 1981, con l'osservazione che simulare n particelle quantistiche chiede 2ⁿ numeri e la proposta di usare un sistema quantistico come macchina. Tredici anni prima di Shor. Nel README c'è ora un paragrafo sulla Parte M, che non era menzionata da nessuna parte. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Dodici livelli costruiti e nessuno che li nominasse: la Parte M non compariva né in home né nella pagina del metodo, dove invece la Parte 0 è citata sei volte e la Parte K ha un blocco suo. Chi arrivava sulla home non aveva modo di sapere che quella parte c'era. Nelle tre home: un bottone d'ingresso in fila con quelli della Parte 0 e della Parte K, la Parte M aggiunta al paragrafo che elenca le parti sempre aperte, e un pannello nelle domande frequenti — «e se invece volessi andare più a fondo?», che è la domanda opposta a quella sulla Parte 0 e finora non aveva risposta. Nella pagina del metodo una sezione nuova che dice perché è fatta così: la matematica arriva due volte e a distanza (pratica distribuita, una delle due sole tecniche a utilità alta nella rassegna di Dunlosky e colleghi del 2013), il «perché è fatto così» è interrogazione elaborativa e auto-spiegazione — utilità moderata nella stessa rassegna, e Chi e colleghi nel 1994 avevano mostrato che basta chiedere allo studente di commentare ad alta voce — ed è facoltativa per l'expertise reversal effect, che era già citato per la Parte K e vale identico qui. Le due fonti nuove sono in fondo all'elenco. In coda alla sezione la nota onesta che manca: la Parte M è la più giovane e la meno collaudata su utenti veri. Aggiornata anche la descrizione della Parte 0 nelle FAQ e nei dati strutturati, che era rimasta a «numeri negativi, frazioni, coordinate, gradi, probabilità» mentre nel frattempo la Parte 0 è arrivata a equazioni di secondo grado, logaritmi e prodotto scalare. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
Dodici livelli e nessuna parola cliccabile: il glossario non conosceva niente di quello che la Parte M introduce, quindi in tutti e dodici i livelli il pannello dei termini e la marcatura nel testo erano muti. Otto voci nuove — limite, serie di Taylor, raggio di convergenza, integrale, cambio di base, commutatore, esponenziale di matrice e formula di Trotter — ciascuna con le forme alternative con cui la parola compare davvero scritta nel testo, e con il link al livello M in cui si incontra. La tabella A–Z del livello 23 passa da 41 a 49 voci, in tutte e tre le lingue, perché legge da qui. Le definizioni sono scritte come le altre: dicono la cosa e poi dicono a cosa serve. «Limite» spiega che non vuol dire «ci arriva»; «commutatore» arriva fino al principio di indeterminazione; «Trotter» finisce sul conto delle porte che costa simulare una molecola. Co-Authored-By: Claude Opus 5 <noreply@anthropic.com> Claude-Session: https://claude.ai/code/session_01AvXb3CVasMSsfCN5tWrsoG
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Il livello 0·5 porta nella Parte 0 i tre attrezzi che finora arrivavano
tutti insieme nel livello più difficile del corso: il resto (mod),
il massimo comune divisore e il periodo di a^x mod N.
· l'orologio: conti oltre la fine del quadrante e la spirale disegna i
giri veri, così «17 mod 7» diventa "due giri e tre passi";
· il pavimento di Euclide: ritagli quadrati finché non avanza niente, e
l'ultimo quadrato È il massimo comune divisore;
· il ritmo che torna: moltiplichi sempre per lo stesso numero e la
passeggiata si chiude in una stella — poi devi dire quanti passi erano.
Le frazioni continue chiudono il livello con lo stepper: da 0,3337 a 1/3,
cioè da un decimale misurato a un periodo intero.
I conti non sono riscritti: gcd e periodOf arrivano dal simulatore, sono
le stesse righe che esegue Shor. Il numero del livello di Shor citato nel
gioco viene da levels.js, non scritto a mano.
Glossario: modulo, MCD e frazioni continue diventano voci vere, e
«periodo» ora dice anche cosa significa per a^x mod N.
Tre lingue, 13 test nuovi sui conti (resto, piastrelle, basi valide),
audit dei testi nel canvas pulito su computer, telefono e orizzontale.