Simulação Balística de um Projétil 9mm FMJ considerando a Resistência do Ar

Este projeto simula o movimento balístico de uma bala 9mm FMJ (Full Metal Jacket) levando em conta a resistência do ar. Ele fornece graficamente as coordenadas do projétil em função do tempo, além de calcular a velocidade no ponto mais alto da trajetória e no momento do impacto com o solo.

🎯 Objetivo

Modelar de forma realista a trajetória de um projétil disparado por uma pistola, utilizando dados reais e técnicas numéricas para resolver o sistema de equações diferenciais que descreve seu movimento.

⚙️ Descrição Física do Problema

🔸 Movimento Balístico

Quando um projétil é disparado, ele segue uma trajetória determinada por:

• A força da gravidade, que age constantemente para baixo.
• A resistência do ar, que se opõe ao movimento e depende da velocidade, da forma do projétil e da densidade do ar.

🔸 Resistência do Ar

Para um projétil de área frontal A movendo-se com velocidade v, será varrido um volume

$$V = A \cdot v$$

Fazendo com que o volume de ar deslocado por segundo seja:

$$\Delta m = \rho \cdot V = \rho A v $$

Desta forma, a Força de Arrasto sofrida pelo projétil (Considerando que uma bala em alta velocidade no ar representa um sistema newtoneano, ou seja, não viscoso):

$$F_d \approx \Delta m \cdot v = (\rho A v) \cdot v = \rho A v^2$$

Isto é:

$$F_d \propto \rho A v^2$$

Por fim, análisa-se de forma empírica que a proporcionalidade se torna igualdade adicionando um fator $\frac{1}{2} \cdot Cd$

Como a força se trata de uma resistência em que sempre se opõe ao movimento, tem-se vetorialmente que:

$$ \vec F_d = - \frac{Cd \rho A v \vec v}{2}$$

Onde:

• $\ C_d $: Coeficiente de arrasto (depende da forma do projétil; para uma 9mm FMJ usa-se 0.295)
• $\ \rho $: Densidade do ar (1.225 kg/m³ ao nível do mar)
• $\ A $: Área frontal do projétil (baseado no diâmetro)
• $\ v $: Velocidade escalar do projétil
• $\ \vec{v} $: Vetor velocidade

📌 Condições de Contorno

• Gravidade constante: $\ g = 9.81 , \text{m/s}^2 $
• Resistência do ar considerada, com parâmetros reais
• Velocidade inicial: 358 m/s (Valor estimado para munição 9mm FMJ)
• Ângulo de disparo: 45°
• Massa do projétil: 8 g
• Área frontal do projétil: Calculada como área de um círculo, usando o diâmetro real de 9.02 mm

🧮 Equações do Movimento

As equações diferenciais que governam o movimento são obtidas a partir da 2ª Lei de Newton:

$$m \cdot \vec{a} = \vec{F}_g + \vec{F}_d$$

Separando em componentes (horizontal e vertical):

• $$\ \frac{dx}{dt} = v_x $$
• $$\ \frac{dy}{dt} = v_y $$
• $$\ \frac{dv_x}{dt} = -\frac{1}{2m} C_d \rho A v v_x $$
• $$\ \frac{dv_y}{dt} = -g -\frac{1}{2m} C_d \rho A v v_y $$

Onde:

$$\ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

🧩 Método de Resolução (EDO)

Foi utilizado o método solve_ivp da biblioteca SciPy para resolver numericamente as equações diferenciais:

• Ele utiliza internamente métodos como Runge-Kutta de ordem 5 (RK45).
• É ideal para sistemas de EDOs com eventos (como o impacto com o solo).
• Foram adotadas tolerâncias numéricas bem pequenas (rtol=1e-8, atol=1e-8) para garantir precisão.

🛑 Evento Especial: Impacto com o Solo

Foi definido um evento que detecta quando a altura do projétil volta a ser zero (y = 0), encerrando a simulação neste ponto.

📊 Saídas da Simulação

1. Gráfico da posição horizontal x(t) e vertical y(t) ao longo do tempo
2. Velocidade no ponto mais alto da trajetória
3. Velocidade no momento do impacto com o solo
4. Tempo total de voo

📦 Requisitos

• Python 3.8 ou superior
• Bibliotecas:
  • numpy
  • matplotlib
  • scipy

Instale com:

pip install numpy matplotlib scipy

🚀 Como Executar

Você pode acessar o notebook Simulação Balística e rodar virtualmente ou então seguir o passo a passo para rodar localmente:

1. Salve o script com o código da simulação (por exemplo, simulacao_balistica.py)
2. Execute com:

python3 simulacao_balistica.py

🧠 Conclusão

O projeto demonstra como traduzir um fenômeno físico real em um modelo computacional detalhado, com o uso de métodos numéricos para simulação e análise. Ele é especialmente útil para:

• Estudantes de Física ou Engenharia
• Desenvolvedores interessados em simulação de sistemas físicos

📚 Referências

• Documentação
• Tabela balística
• Explicação resistência do ar