Program Komnum Newton-Gregory Backwards, versi Differensial.

Tugas final project komnum 2025

Nama : Arya Raka Firmansyah

NRP : 5053241007

Kelompok : R07

---

Cara kerja Kode:

1. Pembuatan tabel Delta x terbalik (dari x terbesar ke terkecil)

A. Program akan menyortir dari nilai x paling besar ke paling kecil karena kita menggunakan Newton-Gregory Backward-Differensial.

def build_backward_deltaerence_table(nilai_X, nilai_Y):
    combined = sorted(zip(nilai_X, nilai_Y), reverse=True)
    x_st, y_st = zip(*combined)

Nanti x_st dan y_st digunakan untuk menyimpan data.

B. Untuk Kolom pertama program akan menetapkan nilai y dari X0 pertama, lalu program akan mengulangi kalkulasi Delta terbalik (Δy₀ = y₀ - y₁ ; Δ²y₀ = Δy₀ - Δy₁ ; ...). Setiap level nantinya akan ditambahkan ke table.

table = [list(y_st)]
    while len(table[-1]) > 1:
        prev = table[-1]
        new_row = [round(prev[i] - prev[i + 1], 2) for i in range(len(prev) - 1)]
        table.append(new_row)

C. Mengembalikan x yang sudah disortir dan tabel Delta sepenuhnya.

return x_st, table

---

2. Pengambilan nilai Delta yang diperlukan di X0

A. Validasi niali X0.

def extract_deltas_at_x0(x_st, table, x0):
    if x0 not in x_st:
        raise ValueError("error")

B. Mencari Baris dimana ada X0.

    idx = x_st.index(x0)
    extracted = []

    for level in range(len(table)):
        if idx < len(table[level]):
            extracted.append(table[level][idx])

Untuk setiap Tingkatan berbeda, akan diambil nilai deltanya di index X0. Program juga akan Mengabaikan Data-Data yang tidak diperlukan.

C. Mengembalikan nilai Delta yang tersedia.

    return extracted

---

3. Function utama untuk kalkulasi Derivasi

A. Kalkulasi h dan kalkulasi s = (x - x₀)/h sebagai jarak X0.

def derivative_ng_backward_verbose(nilai_X, nilai_Y, x0, x):
    h = round(nilai_X[1] - nilai_X[0], 2)
    s = round((x - x0) / h, 2)

B. Membuat tabel terbalik dan ambil nilai Delta di x0. Membatasi untuk 5 nilai Delta saja.

    x_st, table = build_backward_deltaerence_table(nilai_X, nilai_Y)
    delta = extract_deltas_at_x0(x_st, table, x0)

    while len(delta) < 5:
        delta.append(0)

C. Kalkulasi Derivasi Pembilang yang nanti akan digunakan di rumus.

Untuk Koefisien 2 kita perlu:

    koef2 = round((2 * s + 1) / 2, 2)
    part2 = round(koef2 * delta[2], 2)
    pembilang2 = round(pembilang1 + part2, 2)

Untuk Koefisien 3 kita perlu:

    s2 = round(s ** 2, 2)
    koef3 = round((3 * s2 + 6 * s + 2) / 6, 2)
    pembilang3 = round(koef3 * delta[3], 2)

Untuk Koefisien 4 kita perlu:

    s3 = round(s ** 3, 2)
    koef4 = round((4 * s3 + 18 * s2 + 22 * s + 6) / 24, 2)
    pembilang4 = round(koef4 * delta[4], 2)

Kalkulasi Akhir:

    derivative = (pembilang2 + pembilang3 + pembilang4) / h

hanya ada 3 koefisien karena koefisien pertama sudah ditambah ke koefisien kedua.

---

4. Input dan Eksekusi Kode

Data :

nilai_X = [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
nilai_Y = [-940, -6008, -11652, 1040, 74020, 279960, 729932, 1581088, 3044340]

x0 = 10
x = 11

Memanggil Fungsi dan Mencetak hasil akhir.

result = derivative_ng_backward_verbose(nilai_X, nilai_Y, x0, x)
print(f"\nHasil akhir turunan f'({x}) ≈ {result}")