A1-LEGENDRE-DLMF: sharpen tail to 865 modes per parity

[Waschtl904]

Experimenteller Exact-Head-Gate

Versucht den bereits theorematischen A1-Legendre-Backend aus #117/#118 quantitativ zu verkleinern, ohne die finale Matrixpositivität zu behaupten.

Vorab festgelegt:

Omega = 1551
first discarded Legendre degree M = 1730
parity head dimensions = 865 even + 865 odd
finite target remains 1e-35

Neuer analytischer Hebel

DLMF 10.14.5 liefert fuer nu>=0, 0<x<=1

$$|J_\nu(\nu x)|\le \frac{x^\nu e^{\nu\sqrt{1-x^2}}} {(1+\sqrt{1-x^2})^\nu}.$$

Fuer nu=n+1/2, x=t/nu wird daraus eine sphärische-Bessel-Huelle. Der Checker nutzt die exakt abgeleiteten Identitaeten

$$\phi'(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x,$$

und

$$\frac{d}{dt}\log H_\nu(t) =\frac{2\nu\sqrt{1-(t/\nu)^2}-1}{t}.$$

Damit ist die Huelle auf [0,Omega] monoton, sobald n(n+1)>Omega^2.

Weiter wird fuer

$$F(\nu)=\log(2\nu)+2\nu\phi(\Omega/\nu)$$

gezeigt

$$F''(\nu)<0,$$

wodurch der komplette n-Tail geometrisch majorisiert werden kann.

Predeclared Arb targets

Der Exact-Head-Gate soll zertifizieren:

$$\eta_{1730}<1.2\times10^{-46},$$ $$\text{Legendre Schur penalty}<2\times10^{-43},$$

und damit, dass die finalen Legendre-Blöcke bei unveraendertem target 1e-35 auf

865 x 865 even
865 x 865 odd

reduziert werden duerfen.

Neu:

• scripts/check_a1_legendre_dlmf_tail_arb.py
• .github/workflows/a1-legendre-dlmf-tail-arb.yml

Keine Promotion vor gruenem Exact-Head-CI. Registry und Objekt-X-Arbeitsdefinition bleiben unveraendert.

Zusammenfassung von Sourcery

Zertifizierung der verschärften A1-Legendre-Schranke für den Restterm, die erforderlich ist, um beide Paritätsblöcke auf 865×865 zu reduzieren, ohne die Registry oder die Definitionen der finalen Matrix zu ändern.

Verbesserungen:

• Hinzufügen eines rigorosen, auf Arb basierenden DLMF-Zertifikats, das die A1-Legendre-Schranke für den Restterm verschärft und die damit verbundene Freigabe der Schur-Strafe verifiziert.
• Nachweis, dass die Legendre-Paritätsköpfe auf 865×865 reduziert werden können, wobei das endliche Ziel von 1e-35 erhalten bleibt.

CI:

• Hinzufügen eines GitHub-Actions-Workflows, der das exakte numerische Zertifikat bei Pull Requests ausführt und eine manuelle Ausführung unterstützt, wobei das Protokoll als Artefakt hochgeladen wird.

Original summary in English

Zusammenfassung von Sourcery

Zertifizierung der verschärften A1-Legendre-Schranken für den Restterm, die erforderlich sind, um beide Paritätsblöcke auf 865×865 zu reduzieren, ohne die endgültigen Matrixdefinitionen zu ändern.

Neue Funktionen:

• Hinzufügen eines rigorosen, auf Arb basierenden DLMF-Zertifikats für den verschärften A1-Legendre-Restterm und die reduzierten 865-Modus-Paritätsköpfe.

Verbesserungen:

• Zertifizierung der verschärften Schranken für den Restterm und die Schur-Strafe unter Beibehaltung des bestehenden endlichen Ziels und der Matrixdefinitionen.

CI:

• Hinzufügen einer GitHub-Actions-Abdeckung, die per Pull Request und manuell ausgelöst werden kann, für das exakte numerische Zertifikat, einschließlich des Hochladens von Log-Artefakten.

Original summary in English

Summary by Sourcery

Certify the sharpened A1 Legendre tail bounds needed to reduce both parity blocks to 865×865 without changing the final matrix definitions.

New Features:

• Add a rigorous Arb-based DLMF certificate for the sharpened A1 Legendre tail and reduced 865-mode parity heads.

Enhancements:

• Certify the tightened tail and Schur-penalty bounds while preserving the existing finite target and matrix definitions.

CI:

• Add pull-request and manually triggerable GitHub Actions coverage for the exact numerical certificate, including log artifact upload.

[sourcery-ai]

Leitfaden für Reviewer

Dieser PR führt ein fest verankertes Arb-Exact-Head-Gate ein, das die bisherige grobe Legendre-Schwanzabschätzung durch eine DLMF-basierte geometrische Majorante ersetzt, die resultierende Schur-Strafterm-Freigabe gegen das unveränderte Ziel von 1e-35 prüft und eine Annahme verhindert, sofern CI nicht die Reduktion auf 865 Moden pro Parität zertifiziert.

Sequenzdiagramm für das Exact-Head-Legendre-Schwanz-Gate

sequenceDiagram
    participant CI as ExactHeadCI
    participant Checker as check_a1_legendre_dlmf_tail_arb.py
    participant Arb as python-flint Arb
    participant Gate as AcceptanceGate
    CI->>Checker: Mit festgelegtem python-flint==0.9.0 ausführen
    Checker->>Arb: DLMF-Hüllkurve bei n=1730 berechnen
    Arb-->>Checker: eta_1730, geometrisches Verhältnis, Schur-Strafterm
    Checker->>Gate: eta_1730 < 1.2e-46 prüfen
    Checker->>Gate: Schur-Strafterm < 2e-43 prüfen
    Checker->>Gate: Einhaltung des endlichen Ziels bei 1e-35 prüfen
    Gate-->>CI: 865x865-gerade und -ungerade Blöcke zertifizieren
    CI->>CI: Zertifikatsprotokoll hochladen

Loading

Änderungen auf Dateiebene

Änderung	Details	Dateien
Fügt einen rigorosen Arb-Prüfer für die verschärfte DLMF-Legendre-Band-Schwanzabschätzung hinzu.	Kodiert die sphärische-Bessel-Hüllkurve aus DLMF 10.14.5 und deren Monotoniebedingung beim ersten verworfenen Grad. Verwendet die Konkavität der logarithmischen Hüllkurve, um ein geometrisches Schwanzverhältnis abzuleiten und die eta-Schranke zu zertifizieren. Kombiniert die Band-Schwanzabschätzung mit der bestehenden Moment-Schwanzschranke, um den Schur-Strafterm und die Einhaltung des endlichen Ziels zu berechnen. Gibt feste Zertifikatsmarkierungen erst aus, wenn alle numerischen Gates bestanden sind, ohne die endgültige Positivität der Matrix zu behaupten.	scripts/check_a1_legendre_dlmf_tail_arb.py
Fügt eine obligatorische CI-Abdeckung für das Exact-Head-Zertifikat hinzu und archiviert dessen Ausgabe.	Führt den Prüfer mit festgelegten Python- und python-flint-Versionen bei Pull Requests und manueller Ausführung aus. Überprüft die drei erforderlichen Zertifikatszeichenfolgen für eta, den Schur-Strafterm und die Paritätsreduktion auf 865x865. Lädt das Zertifikatsprotokoll als Workflow-Artefakt hoch.	.github/workflows/a1-legendre-dlmf-tail-arb.yml

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Original review guide in English

Reviewer's Guide

This PR introduces a pinned-Arb exact-head gate that replaces the prior coarse Legendre tail estimate with a DLMF-based geometric majorant, checks the resulting Schur-penalty clearance against the unchanged 1e-35 target, and prevents acceptance unless CI certifies reduction to 865 modes per parity.

Sequence diagram for the exact-head Legendre tail gate

sequenceDiagram
    participant CI as ExactHeadCI
    participant Checker as check_a1_legendre_dlmf_tail_arb.py
    participant Arb as python-flint Arb
    participant Gate as AcceptanceGate
    CI->>Checker: Run with pinned python-flint==0.9.0
    Checker->>Arb: Compute DLMF envelope at n=1730
    Arb-->>Checker: eta_1730, geometric ratio, Schur penalty
    Checker->>Gate: Check eta_1730 < 1.2e-46
    Checker->>Gate: Check Schur penalty < 2e-43
    Checker->>Gate: Check finite target clearance at 1e-35
    Gate-->>CI: Certify 865x865 even and odd blocks
    CI->>CI: Upload certificate log

Loading

File-Level Changes

Change	Details	Files
Adds a rigorous Arb checker for the sharpened DLMF Legendre band-tail estimate.	Encodes the DLMF 10.14.5 spherical-Bessel envelope and its monotonicity condition at the first discarded degree. Uses concavity of the logarithmic envelope to derive a geometric tail ratio and certify the eta bound. Combines the band-tail estimate with the existing moment-tail bound to compute Schur penalty and finite-target clearance. Emits fixed certificate markers only after all numerical gates pass, without claiming final matrix positivity.	scripts/check_a1_legendre_dlmf_tail_arb.py
Adds mandatory CI coverage for the exact-head certificate and archives its output.	Runs the checker with pinned Python and python-flint versions on pull requests and manual dispatch. Verifies the three required certificate strings for eta, Schur penalty, and 865x865 parity reduction. Uploads the certificate log as a workflow artifact.	.github/workflows/a1-legendre-dlmf-tail-arb.yml

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