Add lih vqe example#158
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sansiro77
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sansiro77
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内容 review：主要是理论表述与代码行为一致性问题。
| # 接着把它切分成两个 3 比特算符 $O_a$ 与 $O_b$，使得 $O_k=O_a\otimes O_b$。 | ||
| # 然后分别用 $U\psi_3^n$ 与 $V\psi_3^n$ 计算对应子系统上的算符期望值。 | ||
| # | ||
| # $$<O> = <O_a><O_b> = \sum_{nm} \lambda_n \lambda_m <\psi_3^n|U^+O_a U|\psi_3^n><\psi_3^n|V^+O_b V|\psi_3^n> = \vec{\lambda}^T M \vec{\lambda}$$ |
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这里的整体期望值不应写成 <O_a><O_b> 的简单乘积；forged 态下应直接写成 <O_a \otimes O_b> 的双重求和形式。并且当前求和是 n,m，但矩阵元仍写成同一个 n，和后面的 M_{ij} 定义也不一致。建议把这一式改成与矩阵定义一致的表达。
| # 3. 把所有算符的期望值按分解系数求和，可得到 | ||
| # $M_{sum}=\sum_k w_k M_k$。 | ||
| # 于是哈密顿量的期望值可以写成二次型：$\langle H\rangle = \vec{\lambda}^T M_{sum} \vec{\lambda}$。 | ||
| # 在约束 $||\vec{\lambda}||=1$ 下，这个二次型的最小值等于矩阵 $M_{sum}$ 的最小特征值；对应的 $\vec{\lambda}$ 就是该特征值的特征向量。因此，最小特征值也对应于哈密顿量的基态能量。 |
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这里“最小特征值也对应于基态能量”的说法少了常数项说明。代码实际优化的是 test[0] + constant，因此若 M_sum 只收集 Pauli 非常数项，理论文字应明确总能量还需要再加哈密顿量分解中的 constant。
| # 1 & 1\\ | ||
| # 1 & -1 | ||
| # \end{pmatrix}, | ||
| # S = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} |
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这里给出的 S 矩阵和代码里的 s_mat = diag(1, i) 不一致。当前公式写成了带 1/sqrt(2) 的非标准矩阵，会误导后面的叠加态制备推导；建议改成标准相位门 diag(1, i)。
| loss_all = [] | ||
| pauli_coef_ts = torch.tensor(pauli_coef) | ||
| data = nn.Parameter(torch.rand(64) * 2 * torch.pi) | ||
| lambdas = nn.Parameter(torch.rand(1, 3, dtype=torch.complex128)) |
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lambdas 被加入 optimizer，但后续 loss 计算没有使用它；当前实现已经通过 torch.linalg.eigh() 直接取最小特征值，因此这个参数不会参与训练。建议删除它，或改成显式使用/展示 eigensolver 返回的 Schmidt 系数，避免和前文叙述冲突。
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