「二項係数の和（オンライン）」の実装を変更

docs/math/combinatorics/online-binomial-sum.md

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 - 整数 $n,m$ と重み $r$ に対する二項係数の prefix sum を $\displaystyle F(n,m)=\sum_{i=0}^{n-1}r^i\binom{m}{i}$ とおく。
 - 半開区間の左端、右端をそれぞれ $l,u$ とする。 $\displaystyle \sum_{i=l}^{u-1}r^i\binom{m}{i}$ をオンラインで求める。
 - $\binom{m}{i}=0\;(i>m)$ として扱う。
-- クエリでは、前計算を行ったうちの最も近い点から復元する。
+- $n$ と $m$ をそれぞれバケットに分け、バケット境界と各軸の上端をサンプル座標とする。両軸のサンプル座標の直積で $F(n,m)$ を前計算する。
+- クエリでは、マンハッタン距離が最小であるサンプル点から $n$ 方向と $m$ 方向に遷移する。
 - バケットサイズを指定できる。
-  - 以下、クエリで与えられる $m$ の最大値を $M$ 、バケットサイズを $B$ とする。
-  - クエリの時間計算量は $O(B)$ であり、 $B$ が小さいほど各クエリは高速である。
-  - 前計算は時間計算量が $O(M^2/B+B^2+M)$ 、空間計算量が $O((M/B)^2+B^2+M)$ である。 $B$ が小さい場合、時空間ともに前計算のコストが大きい。
-  - バケットサイズ $B$ を指定しない場合、 $M$ が正であれば $B^2\le M$ を満たす最大の $2$ の冪が選ばれる。 $M=0$ の場合は $B=1$ 。
-- $r=0$ のときは閉形式を用い、 $r=-1$ でも $r+1$ による除算は行わない。
+
+以下、クエリで与えられる $m$ の最大値を $M$ 、バケットサイズを $B$ とする。
+- $r=0$ の場合は閉形式を用いる。
+- $r=-1$ の場合は $\displaystyle F(n,m)=(-1)^{n-1}\binom{m-1}{n-1}$ を用い、 $r+1$ による除算を行わない。ただし、 $n=0$ または $m=0$ の場合は別に処理する。
+- $r$ が $0$ でも $-1$ でもない場合、 $n$ 方向の遷移には境界項 $\displaystyle r^n\binom{m}{n}$ を用いる。 $m$ 方向の遷移にはパスカルの三角形の等式から得られる $\displaystyle F(n,m+1)=(r+1)F(n,m)-r^n\binom{m}{n-1}$ を用いる。
+- バケットサイズ $B$ を指定しない場合、 $r=0$ であれば $B=1$ とし、既定のバケットサイズを計算しない。
+- バケットサイズ $B$ を指定せず、 $r\ne 0$ の場合、 $M$ が正であれば $B^2\le M$ を満たす最大の $2$ の冪が選ばれる。 $M=0$ の場合は $B=1$ である。
 
 ## 使い方
 
 `max_m` を $M$ 、`bucket_size` を $B$ とおく。
 
-- `OnlineBinomialSum<T>(int max_m, T r, int bucket_size)`
+- `OnlineBinomialSum(int max_m, T r, int bucket_size)`
   - $0\le m\le M$ のクエリに対する前計算を行う。
   - `r` は重みである。
-  - 引数の `bucket_size` をバケットサイズとして、前計算を行う。
-  - 前提: $M\ge 0,\,B>0$ 。
-  - 前提: `T` は四則演算と `T()` との等値比較を持つ。
-  - 前提: $r \ne 0$ の場合は `r` で除算できる。
-  - 前提: `std::numeric_limits<T>::is_integer` が `false` の場合、 $T(1),T(2),\ldots,T(M)$ で除算できる。
-  - 備考: 整数型では中間値が `T` の範囲を超えない必要がある。
-- `OnlineBinomialSum<T>(int max_m, T r = T(1))`
+  - 引数の `bucket_size` をバケットサイズとして前計算を行う。
+  - 前提: $M\ge 0,\;B>0$ 。
+  - 前提: `T` は素数 $p$ を法とする体の型であり、整数からの構築、四則演算、等値比較を持つ。
+  - 前提: `std::numeric_limits<T>::is_integer` は `false` である。
+  - 前提: $M<p$ 。
+  - 備考: 合成数を法とする型は対象としない。
+- `OnlineBinomialSum(int max_m, T r = T(1))`
   - $0\le m\le M$ のクエリに対する前計算を行う。
-  - `r` は重みで、省略時は $1$ である。
-  - バケットサイズ $B$ は、 $M$ が正であれば $B^2\le M$ を満たす最大の $2$ の冪が選ばれる。 $M=0$ の場合は $B=1$ 。
+  - `r` は重みであり、省略時は $1$ である。
+  - $r=0$ の場合、バケットサイズ $B$ は $1$ であり、既定のバケットサイズを計算しない。
+  - $r\ne 0$ の場合、バケットサイズ $B$ は、 $M$ が正であれば $B^2\le M$ を満たす最大の $2$ の冪が選ばれる。 $M=0$ の場合は $B=1$ である。
   - 前提: $M\ge 0$ 。
-  - 前提: `T` は四則演算と `T()` との等値比較を持つ。
-  - 前提: $r \ne 0$ の場合は `r` で除算できる。
-  - 前提: `std::numeric_limits<T>::is_integer` が `false` の場合、 $T(1),T(2),\ldots,T(M)$ で除算できる。
-  - 備考: 整数型では中間値が `T` の範囲を超えない必要がある。
+  - 前提: `T` は素数 $p$ を法とする体の型であり、整数からの構築、四則演算、等値比較を持つ。
+  - 前提: `std::numeric_limits<T>::is_integer` は `false` である。
+  - 前提: $M<p$ 。
+  - 備考: 合成数を法とする型は対象としない。
 - `T binom_prefix_sum(int n, int m) const`
   - $\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}r^i\binom{m}{i}$ を返す。
   - 前提: $n\ge 0,\;0\le m\le M$ 。
-  - 備考: $n>m+1$ のときも assert 違反にせず、全体の和を返す。
+  - 備考: $n>m+1$ の場合も assert 違反にせず、全体の和を返す。
 - `T binom_sum(int l, int u, int m) const`
   - $\displaystyle \sum_{i=l}^{u-1}r^i\binom{m}{i}$ を返す。
   - 前提: $0\le l\le u,\;0\le m\le M$ 。
-  - 備考: $u>m+1$ や $l>m$ のときも assert 違反にしない。
+  - 備考: $u>m+1$ または $l>m$ の場合も assert 違反にしない。
 
 ## 計算量
 
 `max_m` を $M$ 、`bucket_size` を $B$ とおく。
 
-- コンストラクタ: 時間 $O(M^2/B+B^2+M)$ 、空間 $O((M/B)^2+B^2+M)$
+$r$ が $0$ でも $-1$ でもない場合、
+
+- コンストラクタ: 時間 $O(M^2/B+M)$ 、空間 $O((M/B+1)^2+M)$
 - `binom_prefix_sum(n, m)`: 時間 $O(B)$
 - `binom_sum(l, u, m)`: 時間 $O(B)$
 
-コンストラクタで $B$ を指定しない場合、 $B=O(\sqrt M)$ である。
-このとき、
+である。各軸の隣接するサンプル座標の差は高々 $B$ であるため、最も近いサンプル点からクエリ点までの遷移回数は高々 $B$ である。
+
+$r=-1$ の場合、
+
+- コンストラクタ: 時間 $O(M)$ 、空間 $O(M)$
+- `binom_prefix_sum(n, m)`: 時間 $O(1)$
+- `binom_sum(l, u, m)`: 時間 $O(1)$
+
+である。
+
+$r=0$ の場合、全ての処理は時間 $O(1)$ 、空間 $O(1)$ である。
+
+コンストラクタで $B$ を指定せず、 $r$ が $0$ でも $-1$ でもない場合は $B=O(\sqrt M)$ である。このとき、
 
 - コンストラクタ: 時間 $O(M\sqrt M)$ 、空間 $O(M)$
 - `binom_prefix_sum(n, m)`: 時間 $O(\sqrt M)$