面板資料混合 AR 模型之 EM 估計與拔靴推論

本論文研究面板資料（Panel Data）下的有限混合自回歸模型（Finite Mixture AR Model），提出兩種模型架構，並以 EM 演算法進行參數估計，搭配有母數拔靴法（Parametric Bootstrap）建構推論程序。並以德國長期選舉研究（GLES）與 CPI 資料進行實證分析。

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模型架構

Type 1：逐時間混合模型（Pointwise Mixture with Random Effects）

每個個體 $i$ 在每個時間點 $t$ 獨立從 $K$ 個狀態中抽取，含個體隨機效應 $u_i$：

$$x_{it} = u_i + \sum_{k=1}^{K} \mathbf{1}[s_{it}=k]\left(\boldsymbol{\alpha}_k^\top \mathbf{x}_{i,t-p:t-1} + \boldsymbol{\beta}_k^\top \mathbf{z}_t + \varepsilon_{it}^{(k)}\right)$$

• 狀態 $s_{it}$ 在每個 $(i,t)$ 獨立抽取
• 個體效應 $u_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_u^2)$

Type 2：個體潛在類別模型（Latent Class with Component-Specific Fixed Effects, CFE）

每個個體 $i$ 永久屬於一個潛在類別 $s_i \in {1,\dots,K}$，含成分特定固定效應 $\alpha_{ij}$：

$$x_{it} = \alpha_{i,s_i} + \boldsymbol{\phi}_{s_i}^\top \mathbf{x}_{i,t-p:t-1} + \boldsymbol{\beta}_{s_i}^\top \mathbf{z}_t + \varepsilon_{it}^{(s_i)}$$

• 個體類別 $s_i$ 固定不變（latent class membership）
• 去均值（within-individual demeaning）消除固定效應

待估參數：$\boldsymbol{\pi}$（混合比例）、$\boldsymbol{\phi}_k$（AR 係數）、$\boldsymbol{\beta}_k$（外生變數係數）、$\sigma_k^2$（狀態特定誤差變異數）

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目錄結構

thesis/
├── Type1 code/                     # Type 1 模型相關程式
│   ├── Type1生資料.R               # 真值生成 + 資料模擬 + EM 主函數
│   ├── Type1跑EM.R                 # 並行跑 EM（future 套件）
│   ├── Type1跑BS.R                 # 有母數拔靴法（Bootstrap）
│   ├── Type1畫資料圖.R             # 資料視覺化
│   ├── Type1_Sec3.1/               # Section 3.1：固定 T=100，變化 N 的模擬結果
│   │   ├── Sec3.1畫圖.R            # RMSE 比較圖
│   │   └── *.png / *.pdf           # 輸出圖檔
│   ├── Type1_Sec3.2/               # Section 3.2：固定 N=1000，變化 T 的模擬結果
│   └── by個體有母數/               # 有母數拔靴（個體重抽）實驗結果
│
├── Type2 code/                     # Type 2 模型相關程式
│   ├── Type2生資料.R               # 真值生成 + 資料模擬 + EM 主函數（CFE版）
│   ├── Type2跑EM.R                 # 並行跑 EM
│   ├── Type2畫資料圖.R             # 資料視覺化
│   ├── Type2_Sec3.1/               # 模擬結果（固定 T，變化 N）
│   ├── Type2_Sec3.2/               # 模擬結果（固定 N，變化 T）
│   └── by時間有母數/               # 有母數拔靴（時間重抽）實驗結果
│       └── 有母數拔靴主程式.R
│
├── 實證資料分析/                   # 實際資料分析
│   ├── code/
│   │   ├── RealDataAnalysis_Preprocessing.R   # GLES + CPI 資料清理
│   │   ├── RealDataAnalysis_WLS.R             # 加權最小平方分析
│   │   ├── Type 1/                            # Type 1 實證分析（含/不含地區效果）
│   │   └── Type 2/                            # Type 2 實證分析（含/不含地區效果）
│   ├── figure/                     # 輸出圖檔（折線圖、PCA 等）
│   └── results/
│       ├── raw data/               # GLES 原始 Stata 檔（ZA7728–ZA7733）+ CPI
│       └── *.rds                   # EM/BS 結果
│
└── 有母數拔靴法各種圖.R            # 拔靴結果綜合視覺化（偏誤、標準誤比較圖）

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模擬實驗設計

實驗	固定	變化	樣本數
Sec 3.1	T = 100	N = 200, 300, 500, 1000	100 draws
Sec 3.2	N = 1000	T = 6, 30, 40, 50, 75, 100	100 draws

評估指標：各參數的 RMSE（$\pi$、AR 係數、$\beta$、$\sigma^2$）

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實證資料

• GLES（German Longitudinal Election Study）：ZA7728–ZA7733，共 6 波（2022/05、2022/10、2023/05、2023/10、2024/05、2024/10）
• CPI：德國每月 CPI 年增率，用以計算通膨指數
• 分析維度：前東德 vs. 前西德地區差異

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執行環境

• 語言：R（建議 R ≥ 4.2）
• 主要套件：future, future.apply, progressr, ggplot2, tidyverse, MCMCpack, gtools, haven, data.table

執行順序（以 Type 2 為例）

# 1. 生成真值與模擬資料（含 EM 主函數定義）
source("Type2 code/Type2生資料.R")

# 2. 並行跑 EM 模擬
source("Type2 code/Type2跑EM.R")

# 3. 有母數拔靴（標準誤估計）
source("Type2 code/by時間有母數/有母數拔靴主程式.R")

# 4. 畫圖
source("有母數拔靴法各種圖.R")