从格点到连续 —— 面向量子多体和计算物理研究者的共形场论

1. 核心理念与目标受众

1.1 核心理念：逆传统的"Bottom-up"路径

传统CFT教学遵循高能物理范式：QFT → 对称性 → CFT。这对没有QFT基础的团队过于陡峭。

本讨论班采用理论计算双轨制，应用CFT于凝聚态/统计物理，结合半Bottom up和Top-down的方式： 从格点模型（Ising, XXZ, 自由费米子）→ 临界现象（Scale Invariance）→ CFT作为普适类描述，在尽量知道公式和原理所从来的基础上，学会应用和计算。哪怕最后结束没follow上推导，至少也要学会图像和计算。

1.2 受众优势转化

• 量子多体背景：熟悉纠缠熵（Cardy公式）、配分函数、Transfer Matrix、能谱
• 张量网络背景：熟悉MPS/PEPS、iTEBD、固定点张量（Fixed Point Tensors）
• "劣势"转化：不熟悉QFT意味着没有路径依赖，可以直接建立"格点-CFT"的直接对应

关键在于利用现有优势作为跳板，而非弥补QFT的"不足"。对于熟悉纠缠熵的人来说，Virasoro代数只是全息纠缠熵的生成元；对于熟悉张量网络的人来说，CFT就是RG流的固定点。从这个角度切入，CFT会变得更具体、更有计算性。

1.3 讨论班规则

• "无推导焦虑"规则：参与者不需要理解每一步推导，但必须能解释最终结果的物理意义
• " host model"义务：每周指定一人准备5分钟的"物理栖居地"介绍，将该周数学与具体格点模型联系
• 代码分享：鼓励使用GitHub共享Mini-project代码，形成可复现的"数值CFT工具包"

1.4 预期成果

通过这个讨论班，参与者将能够：

1. 理解CFT语言：能够阅读使用CFT描述的拓扑序/多体物理论文（如anyon凝聚、拓扑相变）
2. 进行数值CFT分析：掌握从格点模型提取中心荷、标度维数、OPE系数的实用技能
3. 建立张量网络-CFT联系：理解为什么张量网络的固定点"就是"CFT，并能进行基础计算
4. 完成一个可展示的项目：拥有一个完整的"格点模型 → CFT数据"分析案例，可作为未来研究的模板

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2. 三个核心问题的解决方案

问题1：如何处理QFT前置知识？

方案：工具箱模式（Toolbox Approach）

• 不设专门的QFT预备周。将必要的QFT概念拆解为10-15分钟的"微讲座"，嵌入到每周内容中，并直接与统计力学类比：
• 关键桥梁：强调Transfer Matrix哈密顿量与CFT哈密顿量（Virasoro算符 $L_0 + \bar{L}_0$）的对应关系。这是你们最熟悉的语言。
• 核心替代字典：

CFT/场论语言	统计力学/多体语言	出现时机
真空态 $\ket{0}$	基态 / 配分函数归一化	Week 2
路径积分	配分函数 $Z = \text{Tr}(e^{-\beta H})$	Week 2
插入算符 $\phi(z)$	关联函数 $\langle O_i O_j \rangle$	Week 2
正规序 $:\phi^2:$	Wick定理（减真空涨落）	Week 3
能动量张量 $T(z)$	Hamiltonian密度 $h_j$ 的生成元	Week 3
径向量子化	Transfer Matrix本征值问题	Week 2
散射振幅	线性响应理论	略去不讲

问题2：如何避免迷失在公式推导中？

方案：双轨制 + 物理栖居地（Physical Habitat）

双轨制日程（每周2小时）：

• 1.5h（理论轨）：聚焦核心概念和关键结果，跳过技术性证明（如所有关于 descendents 的详细计算、复杂的共形块推导、Kac行列式的详细计算）
• 0.5h（应用轨）：阅读具体论文/数值实践，将当周公式与可计算的量关联，Zou论文对应算法实现 + 具体数值计算

物理栖居地策略： 每章指定一个"宿主模型"，所有抽象概念都先在Transverse Field Ising Model (TFIM)中具象化，Week 5后引入O'Brien-Fendley (OF) 模型（三临界Ising）作为第二例子

问题3：如何增加实践动机？

方案：贯穿式 Mini-Project + 两篇论文精读

Mini-Project 选项（从Week 3开始，持续7周）： 在10周内，从TFIM的格点哈密顿量出发，完整提取Ising CFT ($c=1/2$)的全部共形数据（中心荷、3个初级场的$\Delta$、关键OPE系数），并验证与Ginsparg第5章理论预言的吻合

论文精读安排（拟）：

• Week 4-5：精读 "Extraction of conformal data in critical quantum spin chains using the Koo-Saleur formula" (arXiv:1706.01436)

  • 目的：理解如何从格点能谱 ${E_n}$ 提取 $c$ 和 $\Delta$，建立第5-6章与数值实验的联系

• Week 8-9：精读 "Precision reconstruction of rational CFT from exact fixed point tensor network" (arXiv:2311.18005)

  • 目的：理解张量网络的固定点与CFT数据的对应，特别是第11章（有限尺寸）和第12章（缺陷）在张量网络中的体现