Typos.

skript/8/beispiele.tex

@@ -65,14 +65,14 @@ \subsection{Federkette}
 \Delta=
 -\frac{K}{m}
 \begin{pmatrix}
--2&1&0&0&0&\dots&&&0\\
-1&-2&1&0&0&&&&\\
-0&1&-2&1&0&&&&\\
-0&0&1&-2&1&&&&\\
-\vdots&&&&&\ddots&&\\
- &&&&&&-2&1&0\\
- &&&&&&1&-2&1\\
-0&&&&&&0&1&-2
+-2&1&0&0&\dots&&&0\\
+1&-2&1&0&&&&\\
+0&1&-2&1&&&&\\
+0&0&1&-2&&&&\\
+\vdots&&&&\ddots&&\\
+ &&&&&-2&1&0\\
+ &&&&&1&-2&1\\
+0&&&&&0&1&-2
 \end{pmatrix}
 \]
 beschrieben.
@@ -142,14 +142,14 @@ \subsubsection{Zwei Massen}
 \caption{Schwingungsmodi einer Federkette mit zwei Massen ( $n=2$)\label{n2modi}}
 \end{figure}%
 Es gibt also zwei Schwingungsmodi, in
-Abbildung~\ref{n2modi} werden jeweils die beiden Extremlagen 
+Abbildung~\ref{n2modi} werden jeweils die beiden Extremlagen
 gezeigt.
 Bei der langsamen Schwingung mit Kreisfrequenz
 $\omega_-=\sqrt{\lambda_-}=1$ bewegen sich die Massen gleichphasig,
 was auch angezeigt wird durch die gleichen Vorzeichen
 der Komponenten von $v_-$.
 Bei der schnellen Schwingung mit Kreisfrequenz
-$\omega_+=\sqrt{\lambda_+}=\sqrt{3}\simeq 1.732$ bewegen sich die 
+$\omega_+=\sqrt{\lambda_+}=\sqrt{3}\simeq 1.732$ bewegen sich die
 beiden Massen gegenphasig, ausgedrückt auch durch
 die verschiedenen Vorzeichen der Komponenten von $v_+$.
 
@@ -227,7 +227,7 @@ \subsubsection{Drei Massen}
 Zur geringsten Frequenz
 $\omega_3=\sqrt{\mathstrut\lambda_3}=\sqrt{2-\sqrt{2\mathstrut}}\simeq 0.7654$
 gehört eine Schwingung, bei der alle drei Massen in Phase
-hin- und herschwingen, wobei die mittlere Masse eine 41\% 
+hin- und herschwingen, wobei die mittlere Masse eine 41\%
 grössere Amplitude hat (Abbildung~\ref{n3modi} unten).
 Zur höchsten Frequenz
 $\omega_2=\sqrt{\lambda_2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\simeq 1.848$
@@ -303,12 +303,12 @@ \subsection{Fibonacci-Zahlen}
 Durch Wahl eines anderen Paares von Startzahlen
 erhält man eine alternative Fibonacci-Folge.
 Die Fibonacci-Zahlen
-erfüllen die Gleichung 
+erfüllen die Gleichung
 \[
 x_{n+1}=x_n+x_{n-1},
 \]
 die wir
-auch 
+auch
 \begin{equation}
 x_{n+1}-x_n-x_{n-1}=0
 \end{equation}
@@ -379,7 +379,7 @@ \subsubsection{Lösung als Eigenwertproblem}
 Natürlich ist es etwas umständlich, zum Beispiel die 1291-ste Fibonacci-Zahl
 zu berechnen, da wäre eine Formel $f(n)$ sehr praktisch, in der man einfach
 die Zahl 1291 einsetzen könnte.
-Die Fibonacci-Zahlen nehmen sehr schnell zu, 
+Die Fibonacci-Zahlen nehmen sehr schnell zu,
 wir versuchen die Lösung in der Form
 \[
 f(n)=a\lambda^n
@@ -454,7 +454,7 @@ \subsubsection{Lösung als Eigenwertproblem}
 1&-\frac{1-\sqrt{5}}2
 \end{pmatrix}
 \]
-und eine nichttriviale Lösung 
+und eine nichttriviale Lösung
 \[
 y_-=\begin{pmatrix}
 \frac{1-\sqrt{5}}2\\
@@ -593,7 +593,7 @@ \subsubsection{Anfangswerte}
 $\lambda_+$.
 
 \subsubsection{Verallgemeinerung}
-Das eben dargestellte Verfahren zur Lösung einer endlichen 
+Das eben dargestellte Verfahren zur Lösung einer endlichen
 Differenzengleichung lässt sich verallgemeinern.
 Eine Differenzengleichung der Form
 \[
@@ -638,7 +638,7 @@ \subsubsection{Verallgemeinerung}
 Eigenwert-Problem
 \[
 \begin{pmatrix}
-\lambda_{n-k+1}\\
+\lambda^{n-k+1}\\
 \vdots\\
 \lambda^{n+1}
 \end{pmatrix}

skript/8/char.tex

@@ -6,12 +6,12 @@
 \section{Charakteristische Gleichung}
 \rhead{Charakteristische Gleichung}
 \index{charakteristische Gleichung}
-Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat eine Matrix? Ein Eigenvektor 
+Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat eine Matrix? Ein Eigenvektor
 ist ein von $0$ verschiedener Vektor $x$, der die Gleichung
 $Ax=\lambda x$ erfüllt, oder wie wir früher gesehen haben,
 eine nicht verschwindende Lösung des homogenen Gleichungssystems
 $(A-\lambda E)x=0$.
-Im Kapitel \ref{chapter-determinanten} wurde gezeigt, dass ein eine solche
+In Kapitel~\ref{chapter-determinanten} wurde gezeigt, dass eine solche
 Lösung nur dann existieren kann, wenn die Determinante des Gleichungssystems
 verschwindet, also
 \[
@@ -23,7 +23,7 @@ \section{Charakteristische Gleichung}
 \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
 a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}-\lambda
 \end{matrix}
-\right|
+\right|.
 \]
 Die Determinante ist ein Polynom $n$-ten Grades in $\lambda$, das Finden der
 Eigenwerte läuft also darauf hinaus, Nullstellen eines Polynoms zu finden.
@@ -39,34 +39,34 @@ \section{Charakteristische Gleichung}
 \index{charakteristisches Polynom}
 Das Polynom $\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)$ heisst
 charakteristisches Polynom,
-die Gleichung $\chi_A(\lambda)=0$ heisst 
+die Gleichung $\chi_A(\lambda)=0$ heisst
 charakteristische Gleichung.
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
-Die Matrix $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ hat das 
+Die Matrix $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ hat das
 charakteristische Polynom
 \begin{align*}
 \det(A-\lambda I)&=\left|\begin{matrix}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{matrix}\right|\\
 &=\lambda^2-1=(\lambda+1)(\lambda-1)
 \end{align*}
 mit den Lösungen $\lambda_\pm=\pm1$.
 Um die Eigenvektoren zu finden, muss
-man jetzt das Gleichungssystem $(A-\lambda E)x=0$ bestimmen.
+man jetzt das Gleichungssystem $(A-\lambda E)x=0$ lösen.
 Für die Eigenwerte $\pm1$ hat das Gleichungssystem die Matrizen
 \[
 \begin{pmatrix}
 -1&1\\1&-1
 \end{pmatrix}\quad \text{für $\lambda=1$},\qquad
 \begin{pmatrix}
 1&1\\1&1
-\end{pmatrix}\quad\text{für $\lambda=-1$}
+\end{pmatrix}\quad\text{für $\lambda=-1$},
 \]
-mit den Lösungsvektoren 
+mit den Lösungsvektoren
 \[
-\vec v_+=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
+v_+=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},
 \qquad
-\vec v_-=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
+v_-=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.
 \]
 \end{beispiel}
 

skript/8/diagonal.tex

@@ -20,7 +20,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}}
 also  $A^t=A$.
 
 \begin{hilfssatz}
-Sind $v_1$ und $v_2$ Eigenvektoren von $A$ zu den Eigenwerten 
+Sind $v_1$ und $v_2$ Eigenvektoren von $A$ zu den Eigenwerten
 $\lambda_1$ und $\lambda_2$ mit $\lambda_1\ne \lambda_2$, dann
 ist $v_1\cdot v_2=0$.
 \end{hilfssatz}
@@ -67,7 +67,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}}
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir müssen zeigen, dass $Av=\lambda v$.
-Da $v$ so gewählt war, dass $v^tAv$ minimal wird, berechnen wir 
+Da $v$ so gewählt war, dass $v^tAv$ minimal wird, berechnen wir
 \begin{align*}
 f(t)&=\frac{(v+ty)^tA(v+ty)}{(v+ty)^t(v+ty)}
 \\
@@ -106,7 +106,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}}
 Nach Hilfssatz \ref{ev-existenz} gibt es mindestens einen Eigenvektor $v_1$
 zum Eigenwert $\lambda$.
 Die Menge der Vektoren, die auf $v_1$ senkrecht
-stehen, bilden einen Vektorraum $V_1$.
+stehen, bildet einen Vektorraum $V_1$.
 Die durch $A$ definierte Abbildung
 bildet Vektoren aus $V_1$ nach Hilfssatz \ref{ev-ortho} wieder nach
 $V_1$ ab.
@@ -115,7 +115,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}}
 Damit ist auch in $V$ eine Basis aus Eigenvektoren konstruiert.
 \end{proof}
 
-\begin{beispiel} Eine symmetrische $2\times 2$-Matrix 
+\begin{beispiel} Eine symmetrische $2\times 2$-Matrix
 \[
 A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}
 \]
@@ -207,7 +207,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}}
 kleiner ist.}
 
 Man kann die Eigenwerte natürlich auch ausrechnen.
-Die charakteristische Gleichung ist 
+Die charakteristische Gleichung ist
 \[
 \lambda^2-8\lambda-1=0
 \]

skript/8/problem.tex

@@ -82,7 +82,7 @@ \section{Problemstellung}
 \[
 Ax=\alpha_1Av_1+\dots+\alpha_nAv_n=\alpha_1\lambda_1v_1+\dots+\alpha_n\lambda_nv_n.
 \]
-In der Basis $\{v_1,\dots,v_n\}$ hat $A$ also die Matrix
+In der Basis $\{v_1,\dots,v_n\}$ entspricht $A$ also der Matrix
 \[
 A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
 =
@@ -103,9 +103,9 @@ \section{Problemstellung}
 Wäre $\lambda$ bekannt, könnten wir das Problem in ein Standardproblem
 umwandeln:
 \[
-Ax=\lambda x\qquad\Rightarrow\qquad Ax-\lambda Ex=(A-\lambda E)x=0
+Ax=\lambda x\qquad\Rightarrow\qquad Ax-\lambda Ex=(A-\lambda E)x=0.
 \]
-gesucht ist also ein nicht verschwindende Lösung des homogenen
+Gesucht ist also eine nicht verschwindende Lösung des homogenen
 Gleichungssystems mit
 Matrix $A-\lambda E$.
 Nur kennen wir $\lambda$ nicht.
@@ -115,7 +115,7 @@ \section{Problemstellung}
 Bestimmung von $\lambda$: $A-\lambda E$ muss singulär sein.
 Das Eigenwertproblem wird also in zwei Schritten gelöst:
 \begin{compactenum}
-\item Bestimmung der möglichen Eigenwerte: für welche Werte von $\lambda$
+\item Bestimmung der möglichen Eigenwerte: Für welche Werte von $\lambda$
 ist $A-\lambda E$ singulär?
 \item Bestimmung der Eigenvektoren zu gegebenem Eigenwert: Finde die
 Lösungen von $(A-\lambda E)x=0$.