report.tex

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\fancyhead[C]{模拟电子技术基础课程设计——BJT差动放大器电路}
\fancyfoot[C]{\thepage}

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    \fancyhead[C]{模拟电子技术基础课程设计——BJT差动放大器电路}
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\begin{document}

\pagenumbering{roman}
\tableofcontents
\newpage

\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\chapter{课程设计题目}
本次课程设计题目为：设计一个带有恒流源的单端输入-单端输出的差动放大器。

\section{设计要求}
\begin{itemize}
    \item 电源电压为：$\pm 12\mathrm{V}$
    \item 输入信号参数：$f_{in} = 1kHz$，$U_{in} = 10mV$
    \item 负载电阻：$R_{L} = 20k\Omega$
    \item 设计指标：
        \begin{itemize}
            \item 电压增益$A_{v} > 15$
            \item 差模输入阻抗$R_{id} > 10k\Omega$
            \item 共模抑制比$CMRR > 50\mathrm{dB}$
        \end{itemize}
\end{itemize}

\section{仿真方案}
本次课程设计中，我们采用以下的仿真方案：
\begin{itemize}
    \item 对于电路仿真，我们采用LTSpice软件
    \item 对于数据处理，我们采用Python语言，使用ltspice库读取仿真数据，使用NumPy库和SciPy库进行数据处理
    \item 对于数据可视化，我们采用Matplotlib库
    \item 对于需要放在文章中的电路图，我们采用KiCAD重新绘制以保证美观
\end{itemize}
如果需要实际运行这个工程，请确保你的电脑上存在以下环境:
\begin{enumerate}
    \item LTSpice软件 （笔者的软件版本号为：24.1.10）
    \item Python解释器，需要安装以下库：
        \begin{itemize}
            \item ltspice库
            \item NumPy库
            \item SciPy库
            \item Matplotlib库
        \end{itemize}
    \item 如果需要编译tex版本的实验报告，请确保安装了xelatex编译器
\end{enumerate}
\textbf{注意}：本次课程设计的所有代码、电路图均在GitHub上公开，GitHub地址为：\\
\url{https://github.com/ZhiYi-R/AnalogCircuitCourseDesign_Amplifier}

\chapter{设计思路及详细实现}
\section{三极管的小信号模型推导}
考虑到临近期末，笔者决定在编写报告时顺便推导一次三极管的小信号模型，权当期末复习。  \\
首先我们作如下约定：
\begin{enumerate}
    \item 因为输入信号很小，我们忽略$V_{in}$对$I_{CE}$的影响，即$I_{CE} \approx I_{CEQ}$
    \item 计算过程中，我们认为同型号的BJT参数完全一致，因此可以使用对称性简化计算
    \item BJT是理想的，其满足Shockley方程，和$I_{CE} = \beta I_{BE}$
    \item 由于$\beta$相当大，我们可以忽略$I_{BE}$对$I_{E}$的影响，即$I_{E} \approx I_{CE}$
\end{enumerate}
我们以经典的共射放大电路为例：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{circuitikz}[american]
        \draw (0, 0) node[npn](Q1) {$Q_{1}$};
        \draw (Q1.base)
            to[short, -*] ++(-0.5, 0)
            coordinate(n1)
            to[short] ++(0, 1)
            to[R=$R_{B_{1}}$] ++(0, 1.5)
            coordinate(n2);
        \draw (Q1.collector)
            to[short, -*] ++(0, 0.5)
            coordinate(n3)
            to[short] ++(0, 0.5)
            to[R=$R_{C}$] ++(0, 1.5)
            to[short, -*] ++(0, 0.5) 
            coordinate(n4)
            to[short] ++(0, 0.5)
            node[vcc] {$V_{CC}$};
        \draw (Q1.emitter)
            to[short, -*] ++(0, -0.5)
            coordinate(n5)
            to[short] ++(0, -0.5)
            to[R=$R_{E}$] ++(0, -1.5)
            to[short, -*] ++(0, -0.5)
            coordinate(n6)
            to[short] ++(0, -0.5)
            node[tlground] {};
        \draw (n1)
            to[short] ++(0, -1)
            to[R=$R_{B_{2}}$] ++(0, -1.5)
            coordinate(n7);
        \draw (n1)
            to[short] ++(-0.5, 0)
            to[C=$C_{in}$] ++(-1.5, 0)
            to[short] ++(-0.5, 0)
            node[ocirc] {}
            node[left] {$U_{in}$};
        \draw(n3)
            to[short] ++(0.5, 0)
            to[C=$C_{out}$] ++(1.5, 0)
            to[short] ++(0.5, 0)
            node[ocirc] {}
            node[right] {$U_{out}$};
        \draw(n5)
            to[short] ++(1.5, 0)
            to[short] ++(0, -0.5)
            to[C=$C_{E}$] ++(0, -1.5)
            coordinate(n8);

        \draw (n2) |- (n4);
        \draw (n8) |- (n6);
        \draw (n7) |- (n6);
    \end{circuitikz}
    \caption{共射放大电路}
\end{figure}
\newpage
\subsection{基本参数推导}
我们定义这样两个参数：
\begin{itemize}
    \item 电路的电压增益: $A_{v} = \dfrac{\partial U_{out}}{\partial U_{in}}$
    \item 三极管的跨导: $g_{m} = \dfrac{\partial I_{CE}}{\partial U_{BE}}$
\end{itemize}
我们对三极管的输出回路写出KVL方程，对于$R_{C}$写出欧姆定律：
$$
\left\{\begin{aligned}
    &U_{R_{C}} + U_{out} = U_{CC} \\
    &U_{R_{C}} = I_{CE} R_{C}
\end{aligned}\right.
$$
可以容易地得到：$U_{out} = U_{CC} - I_{CE} R_{C}$ \\
由于$R_{C}$是一个常量，我们可以有：
$$
A_{v} = \dfrac{\partial U_{out}}{\partial U_{in}} = -R_{c}\dfrac{\partial I_{CE}}{\partial U_{in}}
$$
对于这个电路我们通常取足够大的$C_{in}$、$C_{out}$和$C_{E}$，因此我们可以认为：$U_{BE} = U_{BQ} + U_{in} - U_{EE}$，
又静态基极电压$U_{BQ}$和静态发射极电压$U_{EQ}$都是常数，因此我们可以得到：
$$
A_{v} = -R_{c}\dfrac{\partial I_{CE}}{\partial U_{in}} = -R_{c}\dfrac{\partial I_{CE}}{\partial U_{BE}} = -g_{m} R_{c} 
$$
我们接下来只需要求出$g_{m}$，即可完成对$A_{v}$的计算。我们首先写出Shockley方程：
$$I_{E} = I_{S}\left( e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}} - 1 \right)$$
我们将这个表达式对$U_{BE}$求偏导，得到：
$$g_{m} = \dfrac{\partial I_{E}}{\partial U_{BE}} = \dfrac{I_{S}}{V_{T}} e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}}$$
常温下$V_{T} \approx 26mV$，而BJT的$U_{BEQ}$通常为数百 $mV$，于是：
$$
e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}} \gg 1
$$
即我们认为：$I_{E} \left( e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}} - 1 \right) \approx I_{S} e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}}$
将$g_{m}$的表达式中的$I_{S} e^{\tfrac{U_{BE}}{V_{T}}}$用$I_{E}$替换，我们即可得到：
$$
\boxed{\ g_{m} \approx \dfrac{I_{E}}{V_{T}} }
$$
我们接下来考虑这个电路的输入和输出阻抗，我们可以很容易的分析出：
$$
\boxed{\ R_{o} = R_{c}\ }
$$
\newpage
我们将三极管BE结的动态电阻记作$r_{be}$，可以写出其定义式：
$$r_{be} = \dfrac{\partial U_{BE}}{\partial I_{BE}}$$
由于有：$I_{E} = \beta I_{BE}$，于是：
$$r_{be} = \beta\dfrac{\partial U_{BE}}{\partial I_{CE}}$$
又有$g_{m} = \dfrac{\partial I_{CE}}{\partial U_{BE}}$于是: $r_{be} = \dfrac{\beta}{g_{m}}$
我们将$g_{m} = \dfrac{I_{E}}{V_{T}}$代入即可得到$r_{be}$:
$$r_{be} = \dfrac{\beta V_{T}}{I_{E}} = \boxed{\ \dfrac{V_{T}}{I_{BE}}\ }$$
而这个电路的输出电阻实际上等于：
$$r_{be} + R_{E}\ //\ R_{B_{1}}\ //\ R_{B_{2}}$$

\subsection{共射放大电路分析}
对于Figure 2.1所示的共射放大电路，我们有$U_{BEQ} = U{BQ} - U_{BEQ}$、$U_{BEQ} \approx 0.7V$(硅管)，于是：
$$
U_{BQ} \approx U_{CC}\ \cdot \ \dfrac{R_{B_{2}}}{R_{B_{1}} + R_{B_{2}}}
$$
我们可以进一步得到：$U_{EQ} = U_{BQ} - U_{BEQ}$，于是我们对$R_{E}$写出欧姆定律即可求出$I_{EQ}$
$$I_{EQ} = \dfrac{U_{EQ}}{R_{E}}$$
根据三极管的特征方程我们可以求得：$I_{BEQ} \approx \dfrac{I_{EQ}}{\beta}$
将这些参数代入上一小节我们得出的结论，即可容易地算出该电路的各种参数。\par
对于其它的放大电路，推导过程类似，其核心在于Shockley方程的求导和近似，这里不再赘述。
\newpage

\section{电路方案选择与参数计算}

\subsection{长尾电路参数计算}
对于带尾电流源的差动放大器，其基本结构如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Images/Basic_Amplifier_Circuit.png}
    \caption{带尾电流源的差动放大器}
\end{figure}
这个结构实际上就是两个共射放大电路并联，并共用一个尾电流源来提供静态工作点。其增益计算与上一节中给出的共射放大电路的增益计算一样，公式为：
$$A_{v} = -g_{m} R_{c} = -\dfrac{R_{C}I_{EQ}}{V_{T}}$$
我们不妨取$R_{C} = 10k\Omega$，而由于负载仅$20k\Omega$，且单端输出的增益仅为差分输出增益的一半，我们取$A_{v} = 100$来留出足够的余量。我们可以计算出，对于半个差动放大器：
$$I_{EQ} = \dfrac{A_{v}V_{T}}{R_{C}} \approx 260 \mu A$$
而由于对称性，尾电流源的电流$I_{tail}$满足：
$$I_{tail} = 2I_{EQ} \approx 520 \mu A$$
\newpage
接下来我们计算这个电路的理论差模输入阻抗，对于这个电路，其理论差模输入阻抗$R_{id}$实际上等价于两个$r_{be}$的串联，即：
\begin{equation}
    R_{id} = 2r_{be} = 2\beta\dfrac{V_{T}}{I_{EQ}}
\end{equation}
由于我们还没有选择仿真的器件，这个表达式我们暂且按$\beta = 100$进行估算：
$$R_{id} = 2\beta\dfrac{V_{T}}{I_{EQ}} \approx 10k\Omega$$
恰好满足题目要求，因此我们在选择器件时，其必须满足$\beta \geq 100$

\subsection{尾电流源参数计算}
为了让这个电路性能尽可能的好，笔者选择使用一个PNP管参考电流源+两个NPN管构成电流镜的方案，其基本结构如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Images/Current_Source_Circuit.png}
    \caption{尾电流源电路}
\end{figure}
\newpage 
由于电路的对称性，这个电流源的电流实际上就等于参考电流源的电流，即：
$$I_{tail} = \dfrac{U_{CC} \left(\dfrac{R_{B_{2}}}{R_{B_{1}} + R_{B_{2}}} - 1 \right) + U_{BEQ}}{R_{E}}$$
我们取$U_{BEQ} = 0.7V$、$R_{E} = 10k\Omega$，又有：$I_{tail} = 520uA$，我们可以得到：
$$U_{B} \approx 5.9 V$$
为了工程上的便利，我们取$U_{B} \approx 6 V$，故而可以取$R_{B_{1}} = R_{B_{1}} = 10k\Omega$ \\
对于BJT，我们差分对选取FZT849, 尾电流源的NPN管选择2N3904，PNP管选择2N3906，这都是很常见的BJT型号 \\
至此我们完成了所有的参数计算，设计部分完成，其整体电路如下图，参数在上面的计算中已经给出：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Images/Full_Circuit.png}
    \caption{带尾电流源的差动放大器}
\end{figure}
\newpage
\subsection{BJT参数验证}
由于LTSpice中并不能直接找到三极管的$\beta$（事实上任何spice仿真软件都不能直接找到$\beta$），因此我们通过这样一个电路来测试三极管的$\beta$
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Images/Parameter_Measure_BJT.png}
    \caption{BJT参数测试}
\end{figure}

对于PNP管只需稍加改动即可，这里不再重复。我们对这样一个电路进行直流参数扫描，扫描参数为 $I_{BE}$ 。同时使用Python脚本分析扫描数据，使用SciPy的curve\_fit拟合出 $I_{BE}$ 与 $U_{BE}$ 的关系，即可得到 $\beta$ ，最终我们得到的 $\beta$ 如下表：

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        三极管型号 & 三极管极性 & $\beta$ & 拟合$R^{2}$ \\
        \hline
        FZT849 & NPN & 212.07 & 1.00 \\
        \hline
        2N3904 & NPN & 250.91 & 0.98 \\
        \hline
        2N3906 & PNP & 167.28 & 0.98 \\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{三极管参数拟合结果}
\end{table}
可以看到，我们拟合出的 $\beta$ 满足上面计算中对于 $\beta \geq 100$ 的要求，因此我们选择的三极管合理的。
\newpage
\textbf{附}：参数测试的拟合图与残差图
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{Images/BJT_ParameterFit.png}
    \caption{三极管参数拟合图与残差图}
\end{figure}

\chapter{功能验证与仿真结果}
\section{尾电流源参数验证}
我们对于Figure 2.3所示的电路进行驯服电压-输出电流测试，测试得到的曲线如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{Images/CurrentSource_Character.png}
    \caption{电流源特性}
\end{figure}
可以看到这个电流源的输出电压,可以保证输出的电流基本恒定，确保了电路的静态工作点稳定。同时这个电流源的驯服电压几乎为0，确保了电路的动态范围足够大，符合我们的设计要求。
\newpage
\section{放大电路参数验证}
\subsection{增益与THD+N}
我们对于Figure 2.4所示的电路进行时域仿真，我们取$f_{in} = 10kHz$，$U_{pp_{in}} = 20mV$，仿真结果如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{Images/Amplifier_GainAndDistortion.png}
    \caption{放大电路增益与THD+N测试结果}
\end{figure}
最终的增益为$A_{v} = 36.48V/V(31.24dB)$, $THD+N = 0.44\%$，增益满足设计要求，并且失真非常小。
\newpage
\subsection{幅频响应、相频响应与输入阻抗谱}
我们对于Figure 2.4所示的电路进行AC分析，从$1Hz$扫描到$100MHz$，将输入相位设置为:$-pi$，我们可以得到其响应如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Images/Amplifier_FrequencyDomain.png}
    \caption{放大电路幅频响应与相频响应}
\end{figure}
可以看到在题目要求的条件下，阻抗和增益都满足要求。同时放大器的截止频率经脚本分析为：$316.23kHz$，远大于题目要求的输入信号频率，符合设计要求。
\section{共模抑制比}
我们将电路切换到差分-差分形式，输入一个共模信号并进行AC扫描，得到其CMRR-f曲线如下：
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Images/Amplifier_CMRR.png}
    \caption{CMRR曲线}
\end{figure}
可以看到CMRR全程大于200dB，远大于设计要求的50dB，符合设计要求。所有参数均已通过验证，符合设计要求。
\chapter{心得与体会}
本次课程设计中，我从零开始推导出了三极管的混合$\Pi$模型，并利用这一模型进行了放大电路的设计与验证。在设计过程中，我从理论上推导了电路的参数，包括增益、幅频响应、相频响应、输入阻抗谱、共模抑制比等。同时，我还利用LTSpice进行了仿真验证，确保了设计的正确性。
\vspace{1em}
\par 通过这次课程设计，我对三极管的混合$\Pi$模型有了更深入的理解，同时也将曾经视为经验和魔法的放大电路设计完成了理论化，这为我今后的电路设计提供了扎实理论基础。
\vspace{1em}
\par 在仿真和验证过程中，由于LTSpice自带的数据分析功能过于局限。我还学会了使用Python配合ltspice库对LTSpice的仿真数据进行处理，提取出需要的参数进行分析。这对我之后的电路仿真和分析提供了极大的便利。我可以利用Python的灵活性，对仿真数据进行任意处理，进行更复杂的分析，而不是局限于测量电压、电流或是计算FFT。

\end{document}