From 1ea1ee0c31e4627a42b1a707022b366aa69869d7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Not_Leonian <75620009+NotLeonian@users.noreply.github.com> Date: Thu, 9 Jul 2026 00:46:22 +0900 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?=E3=80=8C=E4=BA=8C=E9=A0=85=E4=BF=82?= =?UTF-8?q?=E6=95=B0=E3=81=AE=E5=92=8C=EF=BC=88=E3=82=AA=E3=83=B3=E3=83=A9?= =?UTF-8?q?=E3=82=A4=E3=83=B3=EF=BC=89=E3=80=8D=E3=81=AE=E5=AE=9F=E8=A3=85?= =?UTF-8?q?=E3=82=92=E4=BF=AE=E6=AD=A3?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../math/combinatorics/online-binomial-sum.md | 7 +- math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp | 134 +++++++++++++++--- 2 files changed, 117 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/docs/math/combinatorics/online-binomial-sum.md b/docs/math/combinatorics/online-binomial-sum.md index 639d389..0d4a31b 100644 --- a/docs/math/combinatorics/online-binomial-sum.md +++ b/docs/math/combinatorics/online-binomial-sum.md @@ -8,7 +8,8 @@ documentation_of: math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp - 整数 $n,m$ と重み $r$ に対する二項係数の prefix sum を $\displaystyle F(n,m)=\sum_{i=0}^{n-1}r^i\binom{m}{i}$ とおく。 - 半開区間の左端、右端をそれぞれ $l,u$ とする。 $\displaystyle \sum_{i=l}^{u-1}r^i\binom{m}{i}$ をオンラインで求める。 - $\binom{m}{i}=0\;(i>m)$ として扱う。 -- $r=0$ や $r=-1$ でも $r+1$ による除算は行わない。 +- クエリでは前計算を行った最も近い点から復元する。 +- $r=0$ のときは閉形式を用い、 $r=-1$ でも $r+1$ による除算は行わない。 ## 使い方 @@ -16,7 +17,9 @@ documentation_of: math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp - `OnlineBinomialSum(int max_m, T r = T(1))` - $0\le m\le M$ のクエリに対する前計算を行う。 - `r` は重みで、省略時は $1$ である。 - - 前提: `T` は四則演算を持つ。`std::numeric_limits::is_integer` が `false` の場合、 $T(1),T(2),\ldots,T(M)$ で除算できる。 + - 前提: `T` は四則演算と `T()` との等値比較を持つ。 + - 前提: $r \ne 0$ の場合は `r` で除算できる。 + - 前提: `std::numeric_limits::is_integer` が `false` の場合、 $T(1),T(2),\ldots,T(M)$ で除算できる。 - 備考: 整数型では中間値が `T` の範囲を超えない必要がある。 - `T binom_prefix_sum(int n, int m) const` - $\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}r^i\binom{m}{i}$ を返す。 diff --git a/math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp b/math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp index 2bb18ad..14ca658 100644 --- a/math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp +++ b/math/combinatorics/online-binomial-sum.hpp @@ -5,8 +5,10 @@ // 0 <= l <= u と 0 <= m <= max_m を仮定する。 // m のバケット境界の累積和を n のバケット境界でサンプルし、 // バケット内の二項係数を前計算する。 -// T は四則演算を持つ型で、std::numeric_limits::is_integer が -// false の場合は T(1) から T(max_m) で除算できる。 +// T は四則演算と T() との等値比較を持つ型で、 +// r != T() の場合は r で除算できることを前提とする。 +// std::numeric_limits::is_integer が false の場合は、 +// さらに T(1) から T(max_m) で除算できることを前提とする。 // 時間計算量は前計算 O(max_m √max_m)、クエリ O(√max_m)。 // 空間計算量は O(max_m)。 @@ -18,16 +20,21 @@ template struct OnlineBinomialSum { int max_m; int bucket_size; T r; + bool r_is_zero; std::vector prefix_sum_offset; std::vector prefix_sum_table; std::vector prefix_term_table; std::vector weighted_binomial_offset; std::vector weighted_binomial_table; std::vector integer_inverse; + T r_inverse; - explicit OnlineBinomialSum(int m, T r = T(1)) : max_m(m), r(r) { + explicit OnlineBinomialSum(int m, T r = T(1)) + : max_m(m), bucket_size(1), r(r), r_is_zero(r == T()) { assert(max_m >= 0); - bucket_size = 1; + if (r_is_zero) { + return; + } while (1LL * bucket_size * bucket_size < max_m + 1) { bucket_size <<= 1; } @@ -55,6 +62,7 @@ template struct OnlineBinomialSum { } if constexpr (!std::numeric_limits::is_integer) { + r_inverse = T(1) / r; integer_inverse.assign(max_m + 1, T()); for (int i = 1; i <= max_m; ++i) { integer_inverse[i] = T(1) / T(i); @@ -64,7 +72,7 @@ template struct OnlineBinomialSum { const int bucket_count = max_m / bucket_size + 1; prefix_sum_offset.assign(bucket_count + 1, 0); for (int b = 0; b < bucket_count; ++b) { - prefix_sum_offset[b + 1] = prefix_sum_offset[b] + b + 1; + prefix_sum_offset[b + 1] = prefix_sum_offset[b] + b + 2; } prefix_sum_table.assign(prefix_sum_offset[bucket_count], T()); @@ -92,6 +100,9 @@ template struct OnlineBinomialSum { } } } + sum += term; + prefix_sum_table[offset + b + 1] = sum; + prefix_term_table[offset + b + 1] = T(); } } @@ -105,10 +116,14 @@ template struct OnlineBinomialSum { if (n > m) { n = m + 1; } + if (r_is_zero) { + return T(1); + } const int bucket = m / bucket_size; const int base = bucket * bucket_size; const int d = m - base; + const int prefix_offset = prefix_sum_offset[bucket]; const int weight_offset = weighted_binomial_offset[d]; int last_j = d; @@ -118,34 +133,109 @@ template struct OnlineBinomialSum { const int first_n = n - last_j; int sample_index = first_n / bucket_size; - if (sample_index > bucket) { - sample_index = bucket; + if (sample_index > bucket + 1) { + sample_index = bucket + 1; } + int next_sample_index = sample_index + 1; + if (next_sample_index > bucket + 1) { + next_sample_index = bucket + 1; + } + const auto restore_cost = [&](int index) -> int { + const int sample_n = index * bucket_size; + if (sample_n < first_n) { + return n - sample_n; + } + if (sample_n > n) { + return sample_n - first_n; + } + return n - first_n; + }; + if (restore_cost(next_sample_index) < restore_cost(sample_index)) { + sample_index = next_sample_index; + } + const int sample_n = sample_index * bucket_size; - const int sample_offset = prefix_sum_offset[bucket] + sample_index; + const int sample_offset = prefix_offset + sample_index; + const T base_term = prefix_term_table[prefix_offset + bucket]; + + const auto move_right = [&](int current_n, T &sum, T &term) -> void { + sum += term; + if (current_n < base) { + term *= r; + term *= T(base - current_n); + if constexpr (std::numeric_limits::is_integer) { + term /= T(current_n + 1); + } else { + term *= integer_inverse[current_n + 1]; + } + } else { + term = T(); + } + }; + const auto move_left = [&](int current_n, T &sum, T &term) -> void { + if (current_n > base + 1) { + term = T(); + return; + } + if (current_n == base + 1) { + term = base_term; + sum -= term; + return; + } + if constexpr (std::numeric_limits::is_integer) { + term /= r; + term *= T(current_n); + term /= T(base - current_n + 1); + } else { + term *= r_inverse; + term *= T(current_n); + term *= integer_inverse[base - current_n + 1]; + } + sum -= term; + }; T sum = prefix_sum_table[sample_offset]; T term = prefix_term_table[sample_offset]; T ans = T(); - for (int current_n = sample_n; current_n <= n; ++current_n) { - if (current_n >= first_n) { + if (sample_n < first_n) { + for (int current_n = sample_n; current_n < first_n; ++current_n) { + move_right(current_n, sum, term); + } + for (int current_n = first_n; current_n <= n; ++current_n) { const int j = n - current_n; ans += weighted_binomial_table[weight_offset + j] * sum; + if (current_n < n) { + move_right(current_n, sum, term); + } } - if (current_n < n) { - sum += term; - if (current_n < base) { - term *= r; - term *= T(base - current_n); - if constexpr (std::numeric_limits::is_integer) { - term /= T(current_n + 1); - } else { - term *= integer_inverse[current_n + 1]; - } - } else { - term = T(); + } else if (sample_n > n) { + for (int current_n = sample_n; current_n > n; --current_n) { + move_left(current_n, sum, term); + } + for (int current_n = n; current_n >= first_n; --current_n) { + const int j = n - current_n; + ans += weighted_binomial_table[weight_offset + j] * sum; + if (current_n > first_n) { + move_left(current_n, sum, term); + } + } + } else { + T right_sum = sum; + T right_term = term; + for (int current_n = sample_n; current_n <= n; ++current_n) { + const int j = n - current_n; + ans += weighted_binomial_table[weight_offset + j] * right_sum; + if (current_n < n) { + move_right(current_n, right_sum, right_term); } } + T left_sum = sum; + T left_term = term; + for (int current_n = sample_n; current_n > first_n; --current_n) { + move_left(current_n, left_sum, left_term); + const int j = n - current_n + 1; + ans += weighted_binomial_table[weight_offset + j] * left_sum; + } } return ans; } From 98711613a694723a9ed811b32c8b57e9f7563c3b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Not_Leonian <75620009+NotLeonian@users.noreply.github.com> Date: Thu, 9 Jul 2026 00:56:15 +0900 Subject: [PATCH 2/2] =?UTF-8?q?STYLE=5FGUIDE.md=20=E3=81=AB=E8=BF=BD?= =?UTF-8?q?=E8=A8=98?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- STYLE_GUIDE.md | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) diff --git a/STYLE_GUIDE.md b/STYLE_GUIDE.md index d38a868..24b6cf1 100644 --- a/STYLE_GUIDE.md +++ b/STYLE_GUIDE.md @@ -8,6 +8,7 @@ - 句読点は基本的に `、` と `。` とする（`,` と `.` などでない）。 - ただし、`Library Checker (Yosupo Judge), yukicoder, AOJ` のように英数字どうしを並べる際のカンマまで避ける必要はない（どちらでもよい）。 - 複数の語句を並べる際の区切り記号は `、` または `, ` とし、上の規約にも従う（`・` や ` / `、`/` などでない）。 + - ただし、TeX 数式中の `,` の後ろには空白はあってもなくてもよい。 - マークダウンの箇条書きのインデントはスペース 2 文字とする。 - マークダウンの番号なし箇条書きは `- ` とする（`* ` や ` - ` などでない）。 - マークダウンの番号付き箇条書きは常に `1. ` とする（`2. ` 以降は使用しない）。