From 34f0bc0505b604da843fc89636f8c8b995b33f9d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 13 Jan 2021 17:00:57 +0100 Subject: [PATCH] Typos. --- skript/8/beispiele.tex | 34 +++++++++++++++++----------------- skript/8/char.tex | 20 ++++++++++---------- skript/8/diagonal.tex | 10 +++++----- skript/8/problem.tex | 8 ++++---- 4 files changed, 36 insertions(+), 36 deletions(-) diff --git a/skript/8/beispiele.tex b/skript/8/beispiele.tex index ef09abf..44b8519 100644 --- a/skript/8/beispiele.tex +++ b/skript/8/beispiele.tex @@ -65,14 +65,14 @@ \subsection{Federkette} \Delta= -\frac{K}{m} \begin{pmatrix} --2&1&0&0&0&\dots&&&0\\ -1&-2&1&0&0&&&&\\ -0&1&-2&1&0&&&&\\ -0&0&1&-2&1&&&&\\ -\vdots&&&&&\ddots&&\\ - &&&&&&-2&1&0\\ - &&&&&&1&-2&1\\ -0&&&&&&0&1&-2 +-2&1&0&0&\dots&&&0\\ +1&-2&1&0&&&&\\ +0&1&-2&1&&&&\\ +0&0&1&-2&&&&\\ +\vdots&&&&\ddots&&\\ + &&&&&-2&1&0\\ + &&&&&1&-2&1\\ +0&&&&&0&1&-2 \end{pmatrix} \] beschrieben. @@ -142,14 +142,14 @@ \subsubsection{Zwei Massen} \caption{Schwingungsmodi einer Federkette mit zwei Massen ( $n=2$)\label{n2modi}} \end{figure}% Es gibt also zwei Schwingungsmodi, in -Abbildung~\ref{n2modi} werden jeweils die beiden Extremlagen +Abbildung~\ref{n2modi} werden jeweils die beiden Extremlagen gezeigt. Bei der langsamen Schwingung mit Kreisfrequenz $\omega_-=\sqrt{\lambda_-}=1$ bewegen sich die Massen gleichphasig, was auch angezeigt wird durch die gleichen Vorzeichen der Komponenten von $v_-$. Bei der schnellen Schwingung mit Kreisfrequenz -$\omega_+=\sqrt{\lambda_+}=\sqrt{3}\simeq 1.732$ bewegen sich die +$\omega_+=\sqrt{\lambda_+}=\sqrt{3}\simeq 1.732$ bewegen sich die beiden Massen gegenphasig, ausgedrückt auch durch die verschiedenen Vorzeichen der Komponenten von $v_+$. @@ -227,7 +227,7 @@ \subsubsection{Drei Massen} Zur geringsten Frequenz $\omega_3=\sqrt{\mathstrut\lambda_3}=\sqrt{2-\sqrt{2\mathstrut}}\simeq 0.7654$ gehört eine Schwingung, bei der alle drei Massen in Phase -hin- und herschwingen, wobei die mittlere Masse eine 41\% +hin- und herschwingen, wobei die mittlere Masse eine 41\% grössere Amplitude hat (Abbildung~\ref{n3modi} unten). Zur höchsten Frequenz $\omega_2=\sqrt{\lambda_2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\simeq 1.848$ @@ -303,12 +303,12 @@ \subsection{Fibonacci-Zahlen} Durch Wahl eines anderen Paares von Startzahlen erhält man eine alternative Fibonacci-Folge. Die Fibonacci-Zahlen -erfüllen die Gleichung +erfüllen die Gleichung \[ x_{n+1}=x_n+x_{n-1}, \] die wir -auch +auch \begin{equation} x_{n+1}-x_n-x_{n-1}=0 \end{equation} @@ -379,7 +379,7 @@ \subsubsection{Lösung als Eigenwertproblem} Natürlich ist es etwas umständlich, zum Beispiel die 1291-ste Fibonacci-Zahl zu berechnen, da wäre eine Formel $f(n)$ sehr praktisch, in der man einfach die Zahl 1291 einsetzen könnte. -Die Fibonacci-Zahlen nehmen sehr schnell zu, +Die Fibonacci-Zahlen nehmen sehr schnell zu, wir versuchen die Lösung in der Form \[ f(n)=a\lambda^n @@ -454,7 +454,7 @@ \subsubsection{Lösung als Eigenwertproblem} 1&-\frac{1-\sqrt{5}}2 \end{pmatrix} \] -und eine nichttriviale Lösung +und eine nichttriviale Lösung \[ y_-=\begin{pmatrix} \frac{1-\sqrt{5}}2\\ @@ -593,7 +593,7 @@ \subsubsection{Anfangswerte} $\lambda_+$. \subsubsection{Verallgemeinerung} -Das eben dargestellte Verfahren zur Lösung einer endlichen +Das eben dargestellte Verfahren zur Lösung einer endlichen Differenzengleichung lässt sich verallgemeinern. Eine Differenzengleichung der Form \[ @@ -638,7 +638,7 @@ \subsubsection{Verallgemeinerung} Eigenwert-Problem \[ \begin{pmatrix} -\lambda_{n-k+1}\\ +\lambda^{n-k+1}\\ \vdots\\ \lambda^{n+1} \end{pmatrix} diff --git a/skript/8/char.tex b/skript/8/char.tex index 2191988..b4475ed 100644 --- a/skript/8/char.tex +++ b/skript/8/char.tex @@ -6,12 +6,12 @@ \section{Charakteristische Gleichung} \rhead{Charakteristische Gleichung} \index{charakteristische Gleichung} -Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat eine Matrix? Ein Eigenvektor +Welche Eigenwerte und Eigenvektoren hat eine Matrix? Ein Eigenvektor ist ein von $0$ verschiedener Vektor $x$, der die Gleichung $Ax=\lambda x$ erfüllt, oder wie wir früher gesehen haben, eine nicht verschwindende Lösung des homogenen Gleichungssystems $(A-\lambda E)x=0$. -Im Kapitel \ref{chapter-determinanten} wurde gezeigt, dass ein eine solche +In Kapitel~\ref{chapter-determinanten} wurde gezeigt, dass eine solche Lösung nur dann existieren kann, wenn die Determinante des Gleichungssystems verschwindet, also \[ @@ -23,7 +23,7 @@ \section{Charakteristische Gleichung} \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}-\lambda \end{matrix} -\right| +\right|. \] Die Determinante ist ein Polynom $n$-ten Grades in $\lambda$, das Finden der Eigenwerte läuft also darauf hinaus, Nullstellen eines Polynoms zu finden. @@ -39,12 +39,12 @@ \section{Charakteristische Gleichung} \index{charakteristisches Polynom} Das Polynom $\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)$ heisst charakteristisches Polynom, -die Gleichung $\chi_A(\lambda)=0$ heisst +die Gleichung $\chi_A(\lambda)=0$ heisst charakteristische Gleichung. \end{definition} \begin{beispiel} -Die Matrix $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ hat das +Die Matrix $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ hat das charakteristische Polynom \begin{align*} \det(A-\lambda I)&=\left|\begin{matrix}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{matrix}\right|\\ @@ -52,7 +52,7 @@ \section{Charakteristische Gleichung} \end{align*} mit den Lösungen $\lambda_\pm=\pm1$. Um die Eigenvektoren zu finden, muss -man jetzt das Gleichungssystem $(A-\lambda E)x=0$ bestimmen. +man jetzt das Gleichungssystem $(A-\lambda E)x=0$ lösen. Für die Eigenwerte $\pm1$ hat das Gleichungssystem die Matrizen \[ \begin{pmatrix} @@ -60,13 +60,13 @@ \section{Charakteristische Gleichung} \end{pmatrix}\quad \text{für $\lambda=1$},\qquad \begin{pmatrix} 1&1\\1&1 -\end{pmatrix}\quad\text{für $\lambda=-1$} +\end{pmatrix}\quad\text{für $\lambda=-1$}, \] -mit den Lösungsvektoren +mit den Lösungsvektoren \[ -\vec v_+=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, +v_+=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad -\vec v_-=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. +v_-=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \] \end{beispiel} diff --git a/skript/8/diagonal.tex b/skript/8/diagonal.tex index ab54077..955b08a 100644 --- a/skript/8/diagonal.tex +++ b/skript/8/diagonal.tex @@ -20,7 +20,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}} also $A^t=A$. \begin{hilfssatz} -Sind $v_1$ und $v_2$ Eigenvektoren von $A$ zu den Eigenwerten +Sind $v_1$ und $v_2$ Eigenvektoren von $A$ zu den Eigenwerten $\lambda_1$ und $\lambda_2$ mit $\lambda_1\ne \lambda_2$, dann ist $v_1\cdot v_2=0$. \end{hilfssatz} @@ -67,7 +67,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}} \begin{proof}[Beweis] Wir müssen zeigen, dass $Av=\lambda v$. -Da $v$ so gewählt war, dass $v^tAv$ minimal wird, berechnen wir +Da $v$ so gewählt war, dass $v^tAv$ minimal wird, berechnen wir \begin{align*} f(t)&=\frac{(v+ty)^tA(v+ty)}{(v+ty)^t(v+ty)} \\ @@ -106,7 +106,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}} Nach Hilfssatz \ref{ev-existenz} gibt es mindestens einen Eigenvektor $v_1$ zum Eigenwert $\lambda$. Die Menge der Vektoren, die auf $v_1$ senkrecht -stehen, bilden einen Vektorraum $V_1$. +stehen, bildet einen Vektorraum $V_1$. Die durch $A$ definierte Abbildung bildet Vektoren aus $V_1$ nach Hilfssatz \ref{ev-ortho} wieder nach $V_1$ ab. @@ -115,7 +115,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}} Damit ist auch in $V$ eine Basis aus Eigenvektoren konstruiert. \end{proof} -\begin{beispiel} Eine symmetrische $2\times 2$-Matrix +\begin{beispiel} Eine symmetrische $2\times 2$-Matrix \[ A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} \] @@ -207,7 +207,7 @@ \section{Diagonalisierung symmetrischer Matrizen\label{section-diag-sym}} kleiner ist.} Man kann die Eigenwerte natürlich auch ausrechnen. -Die charakteristische Gleichung ist +Die charakteristische Gleichung ist \[ \lambda^2-8\lambda-1=0 \] diff --git a/skript/8/problem.tex b/skript/8/problem.tex index 9835027..42c0e00 100644 --- a/skript/8/problem.tex +++ b/skript/8/problem.tex @@ -82,7 +82,7 @@ \section{Problemstellung} \[ Ax=\alpha_1Av_1+\dots+\alpha_nAv_n=\alpha_1\lambda_1v_1+\dots+\alpha_n\lambda_nv_n. \] -In der Basis $\{v_1,\dots,v_n\}$ hat $A$ also die Matrix +In der Basis $\{v_1,\dots,v_n\}$ entspricht $A$ also der Matrix \[ A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) = @@ -103,9 +103,9 @@ \section{Problemstellung} Wäre $\lambda$ bekannt, könnten wir das Problem in ein Standardproblem umwandeln: \[ -Ax=\lambda x\qquad\Rightarrow\qquad Ax-\lambda Ex=(A-\lambda E)x=0 +Ax=\lambda x\qquad\Rightarrow\qquad Ax-\lambda Ex=(A-\lambda E)x=0. \] -gesucht ist also ein nicht verschwindende Lösung des homogenen +Gesucht ist also eine nicht verschwindende Lösung des homogenen Gleichungssystems mit Matrix $A-\lambda E$. Nur kennen wir $\lambda$ nicht. @@ -115,7 +115,7 @@ \section{Problemstellung} Bestimmung von $\lambda$: $A-\lambda E$ muss singulär sein. Das Eigenwertproblem wird also in zwei Schritten gelöst: \begin{compactenum} -\item Bestimmung der möglichen Eigenwerte: für welche Werte von $\lambda$ +\item Bestimmung der möglichen Eigenwerte: Für welche Werte von $\lambda$ ist $A-\lambda E$ singulär? \item Bestimmung der Eigenvektoren zu gegebenem Eigenwert: Finde die Lösungen von $(A-\lambda E)x=0$.